Как изменить емкость колебательного контура радиопередатчика, чтобы он излучал электромагнитные волны с частотой v/2?

Чтобы изменить емкость колебательного контура радиопередатчика так, чтобы он излучал электромагнитные волны с частотой \(v/2\), мы можем выбрать вариант "в. Увеличить емкость в 4 раза". Давайте посмотрим, почему это так.

Зная, что частота колебаний радиопередатчика определяется формулой \(f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\), где \(L\) - индуктивность катушки, а \(C\) - емкость контура, мы можем использовать эту формулу для вычисления новой емкости.

Для того чтобы частота излучения стала \(v/2\), мы можем подставить новую частоту \(f\) в формулу и решить её относительно емкости \(C\):

\(v/2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_{new})}}\).

Чтобы изменить емкость, мы должны преобразовать эту формулу и выразить \(C_{new}\):

\(C_{new} = \frac{1}{(2\pi v/2)^2L}\).

Теперь давайте посмотрим на варианты ответа:

а. Увеличить емкость в 2 раза:
Если мы увеличим емкость в 2 раза, т.е. \(C_{new} = 2C\), подставим это значение в нашу формулу:

\(2C = \frac{1}{(2\pi v/2)^2L}\).

Если мы упростим это уравнение, мы получаем:

\(C = \frac{1}{4(2\pi v/2)^2L}\).

Мы видим, что увеличение емкости в 2 раза не даст нам частоту в \(v/2\), поэтому вариант "а" неверен.

б. Уменьшить емкость в 2 раза:
Если мы уменьшим емкость в 2 раза, т.е. \(C_{new} = \frac{C}{2}\), подставим это значение в нашу формулу:

\(\frac{C}{2} = \frac{1}{(2\pi v/2)^2L}\).

Если мы упростим это уравнение, мы получаем:

\(C = \frac{1}{(2\pi v/2)^2L/2}\).

Мы видим, что уменьшение емкости в 2 раза не даст нам частоту в \(v/2\), поэтому вариант "б" неверен.

в. Увеличить емкость в 4 раза:
Если мы увеличим емкость в 4 раза, т.е. \(C_{new} = 4C\), подставим это значение в нашу формулу:

\(4C = \frac{1}{(2\pi v/2)^2L}\).

Если мы упростим это уравнение, мы получаем:

\(C = \frac{1}{16(2\pi v/2)^2L}\).

Мы видим, что увеличение емкости в 4 раза даст нам частоту в \(v/2\), поэтому вариант "в" является правильным ответом.

Теперь перейдем ко второй задаче и рассмотрим, как изменить индуктивность катушки колебательного контура радиоприемника, чтобы он был настроен на в два раза большую частоту излучения.

Аналогично, частота колебаний радиоприемника определяется формулой \(f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\), где \(L\) - индуктивность катушки, а \(C\) - емкость контура. Мы можем использовать эту формулу для решения задачи.

Согласно условию, нам нужно изменить индуктивность так, чтобы частота стала в 2 раза больше и равнялась \(2v\).

Мы можем использовать формулу и решить её относительно индуктивности \(L\):

\(2v = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{new}C}}\).

Также, чтобы настроить на длину волны 50 м, мы можем использовать формулу \(f = \frac{v}{\lambda}\), где \(v\) - скорость света, а \(\lambda\) - длина волны. Подставив значения, получим:

\(2v = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{new}C}} = \frac{v}{50}\).

Теперь решим это уравнение относительно индуктивности \(L_{new}\):

\(\sqrt{L_{new}C} = \frac{1}{2\pi\cdot 100}\).

Возводя обе стороны уравнения в квадрат, получаем:

\(L_{new}C = \frac{1}{4\pi^2\cdot 10^4}\).

Теперь давайте рассмотрим варианты ответа:

а. Увеличить индуктивность в 4 раза:
Если мы увеличим индуктивность в 4 раза, т.е. \(L_{new} = 4L\), подставим это значение в наше уравнение:

\(4LC = \frac{1}{4\pi^2\cdot 10^4}\).

Если мы упростим это уравнение, мы получаем:

\(L = \frac{1}{16\pi^2C\cdot 10^4}\).

Мы видим, что увеличение индуктивности в 4 раза не даст нам частоту в 2 раза большую, поэтому вариант "а" неверен.

Таким образом, мы можем заключить, что правильным ответом является вариант "б. Увеличить индуктивность в 4 раза".