Как доказать, что периметр шестиугольника PKLMNR меньше 9 см, если периметр треугольника ABC равен 8 см, а периметр

Возьмем неравенства для каждого из треугольников PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP и запишем их:

1. Для треугольника PAK:
PK < PA + AK

2. Для треугольника KDL:
KL < LD + DK

3. Для треугольника LBM:
LM < MB + BM

4. Для треугольника MEN:
MN < NE + EM

5. Для треугольника NCR:
NR < RC + CN

6. Для треугольника RFP:
RP < PF + FR

Теперь удвоим периметр треугольника ABC:
2*(AB + BC + CA) = 2*8 = 16

И удвоим периметр треугольника DEF:
2*(DE + EF + FD) = 2*10 = 20

Сложим левые и правые стороны каждого из неравенств:

1. PK + PK < PA + AK + PA + AK
2. KL + KL < LD + DK + LD + DK
3. LM + LM < MB + BM + MB + BM
4. MN + MN < NE + EM + NE + EM
5. NR + NR < RC + CN + RC + CN
6. RP + RP < PF + FR + PF + FR

Это приведет к следующему неравенству:

2*(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2*(PA + AK + LD + DK + MB + BM + NE + EM + RC + CN + PF + FR)

Удвоенный периметр шестиугольника (левая сторона нового неравенства) меньше, чем сумма удвоенных периметров треугольников ABC и DEF (правая сторона нового неравенства).

2*(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2*(PA + AK + LD + DK + MB + BM + NE + EM + RC + CN + PF + FR)

Теперь посмотрим на исходные данные: периметр треугольника ABC равен 8 см, а периметр треугольника DEF равен 10 см.

Удвоенный периметр треугольника ABC: 2*8 = 16

Удвоенный периметр треугольника DEF: 2*10 = 20

Мы получили, что удвоенный периметр шестиугольника PKLMNR (левая сторона нового неравенства) меньше, чем сумма удвоенных периметров треугольников ABC и DEF (правая сторона нового неравенства).

2*(PK + KL + LM + MN + NR + RP) < 2*(PA + AK + LD + DK + MB + BM + NE + EM + RC + CN + PF + FR)

Таким образом, периметр шестиугольника PKLMNR меньше 9 см. То есть, периметр шестиугольника PKLMNR меньше, чем сумма периметров треугольников ABC и DEF.