Как будет изменяться определитель, если из первой строки вычесть третью строку, умноженную

на 2? Начнем с исходной матрицы A:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \]

Чтобы выполнить указанное преобразование, вычтем из первой строки третью строку, умноженную на 2. В результате получим новую матрицу B:

\[ B = \begin{bmatrix} (a - 2g) & (b - 2h) & (c - 2i) \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \]

Теперь нам нужно определить, какие изменения произошли с определителем матрицы. Определитель - это число, которое связано с матрицей и характеризует ее свойства. Для матрицы размером 3x3 определитель можно вычислить следующим образом:

\[ det(A) = (aei + bfg + cdh) - (ceg + bdi + afh) \]

Где каждая буква обозначает элемент матрицы. После преобразования мы получим новый определитель:

\[ det(B) = ((a - 2g)e(i) + (b - 2h)f(g) + (c - 2i)d(h)) - ((c - 2i)e(g) + (b - 2h)d(i) + (a - 2g)f(h)) \]

После упрощения выражения получим:

\[ det(B) = (aei + bfg + cdh) - 2(g(ei) + h(fg) - i(cd)) \]

Заметим, что первое слагаемое в этом выражении соответствует исходному определителю det(A). Остается только разобраться с вторым слагаемым:

\[ -2(g(ei) + h(fg) - i(cd)) \]

Мы можем раскрыть скобки:

\[ -2(gei + hfg - icd) \]

И далее упростить выражение:

\[ -2gei - 2hfg + 2icd \]

Таким образом, новый определитель можно представить в виде суммы двух слагаемых:

\[ det(B) = det(A) - 2gei - 2hfg + 2icd \]

Таким образом, определитель матрицы B отличается от определителя матрицы A только добавочным слагаемым \( -2gei - 2hfg + 2icd \). Это изменение происходит из-за вычитания третьей строки, умноженной на 2, из первой строки матрицы.