К чему равно значение третьей производной функции у=xlnx в точке х0 = 2 с точностью до 0,01?

Чтобы найти значение третьей производной функции \(y = x \ln x\) в точке \(x_0 = 2\), нам понадобится воспользоваться формулами для производных. Давайте начнем с первой производной и последовательно найдем вторую и третью производные функции.

1. Найдем первую производную функции \(y = x \ln x\):
Применим правило дифференцирования произведения функций: для функций \(u = x\) и \(v = \ln x\), производная их произведения равна \(u"v + uv"\).
\[y" = (x \cdot \ln x)" = x" \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)"\]
Поскольку \(x" = 1\) и \((\ln x)" = \frac{1}{x}\), получим:
\[y" = \ln x + \frac{x}{x} = \ln x + 1\].

2. Найдем вторую производную функции \(y = x \ln x\):
Будем дифференцировать первую производную \(y"\) по аналогичной формуле:
\[y"" = (\ln x + 1)" = (\ln x)" + (1)"\]
Так как \((\ln x)" = \frac{1}{x}\) и \((1)" = 0\), получим:
\[y"" = \frac{1}{x} + 0 = \frac{1}{x}\].

3. Наконец, найдем третью производную функции \(y = x \ln x\):
Продолжим применять правило дифференцирования:
\[y""" = \left(\frac{1}{x}\right)" = -\frac{1}{x^2}\].

Теперь у нас есть третья производная, и мы можем вычислить ее значение в заданной точке \(x_0 = 2\). Подставим \(x = 2\) в найденную третью производную:
\[y"""_{x=2} = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}\].

Таким образом, значение третьей производной функции \(y = x \ln x\) в точке \(x_0 = 2\) равно \(-\frac{1}{4}\).

Мы получили ответ с точностью до двух десятичных знаков, как требовалось в задаче.