Які два натуральних числа, сума яких дорівнює 6, мають суму взаємно обернених з ними чисел рівну 3/4 (дріб)? Знайдіть

Для решения этой задачи нам нужно найти два натуральных числа, сумма которых равна 6, и при этом сумма их взаимно обратных чисел составляет \( \frac{3}{4} \). Давайте обозначим эти два числа как \( x \) и \( y \).

Мы знаем, что сумма этих чисел равна 6, поэтому мы можем написать уравнение:

\[ x + y = 6 \]

Теперь давайте рассмотрим сумму взаимно обратных чисел:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \]

Чтобы решить это уравнение, мы можем умножить обе стороны на \( 4xy \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 4y + 4x = 3xy \]

Распределение коэффициента \( 3xy \) дает нам:

\[ 3xy - 4x - 4y = 0 \]

Теперь нам нужно решить это уравнение, используя метод подбора или факторизацию. Попробуем факторизовать:

\[ 3xy - 4x - 4y = 0 \]
\[ xy - \frac{4}{3}x - \frac{4}{3}y = 0 \]

Теперь мы можем применить метод группировки:

\[ x(y - \frac{4}{3}) - \frac{4}{3}y = 0 \]

Факторизуем выражение в скобках:

\[ \frac{3x(y - \frac{4}{3})}{3} - \frac{4}{3}y = 0 \]
\[ \frac{3xy - 4x - 4y}{3} = 0 \]

Мы видим, что числитель этой дроби равен нулю. Таким образом, у нас есть:

\[ 3xy - 4x - 4y = 0 \]

Мы можем попробовать разложить коэффициенты на множители:

\[ (3x - 4)(y - 4) = 16 \]

Теперь мы должны найти пары натуральных чисел \( x \) и \( y \), сумма которых равна 6, и обладающих следующими свойствами:

\[
\begin{align*}
3x - 4 &= m \\
y - 4 &= \frac{16}{m}
\end{align*}
\]

где \( m \) является делителем числа 16.

Возможными значениями \( m \) являются: 1, 2, 4, 8, 16.

Выпишем все возможные пары \( x \) и \( y \), учитывая данные свойства:

\[
\begin{align*}
m = 1: &\quad (3x - 4 = 1) \quad \text{и} \quad (y - 4 = 16) \\
m = 2: &\quad (3x - 4 = 2) \quad \text{и} \quad (y - 4 = 8) \\
m = 4: &\quad (3x - 4 = 4) \quad \text{и} \quad (y - 4 = 4) \\
m = 8: &\quad (3x - 4 = 8) \quad \text{и} \quad (y - 4 = 2) \\
m = 16: &\quad (3x - 4 = 16) \quad \text{и} \quad (y - 4 = 1)
\end{align*}
\]

Решив каждое уравнение, получим следующие значения:

\[
\begin{align*}
m = 1: &\quad (x = \frac{5}{3}) \quad \text{и} \quad (y = 20) \\
m = 2: &\quad (x = 2) \quad \text{и} \quad (y = 12) \\
m = 4: &\quad (x = 2) \quad \text{и} \quad (y = 2) \\
m = 8: &\quad (x = 4) \quad \text{и} \quad (y = 6) \\
m = 16: &\quad (x = 6) \quad \text{и} \quad (y = 5)
\end{align*}
\]

Из всех этих значений, только пара чисел \( x = 4 \) и \( y = 6 \) удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, два натуральных числа, сумма которых равна 6, а сумма их взаимно обратных чисел равна \( \frac{3}{4} \), равны 4 и 6 соответственно.