Известны координаты трех точек в прямоугольной системе координат, которые являются вершинами треугольника. Вопросы

3.1 Для нахождения координат векторов и их длины, нам необходимо использовать формулы из алгебры. Предположим, что у нас есть две точки A и B с координатами \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\). Чтобы найти координаты вектора AB, мы вычитаем из координат точки B координаты точки A: \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\).

Для нахождения длины вектора AB используем формулу длины вектора, также известную как Евклидова норма: \(|\vec{AB}| = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\).

3.2 Чтобы найти скалярное произведение векторов и угол между ними, нам нужно использовать следующую формулу:

Скалярное произведение двух векторов AB и CD равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: \(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos{\theta}\), где \(\theta\) - угол между векторами.

Угол между векторами можно найти, используя обратную функцию косинуса: \(\theta = \arccos{\frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}}\).

3.3 Чтобы найти векторное произведение двух векторов AB и CD, мы можем использовать определитель 2x2 матрицы из компонент векторов: \(\vec{AB} \times \vec{CD} = \begin{vmatrix} i & j \\ (x_2 - x_1) & (y_2 - y_1) \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)j - (y_2 -y_1)i\).

Площадь треугольника ABC, где A, B и C - вершины треугольника, равна половине модуля векторного произведения двух его сторон AB и AC: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|\).

3.4 Чтобы найти значение параметра t, при котором векторы AB и CD коллинеарны, мы можем сравнить их соответствующие компоненты. Если их отношение константно, то векторы коллинеарны. Другими словами, для векторов AB и CD: \(\frac{x_2 - x_1}{x_4 - x_3} = \frac{y_2 - y_1}{y_4 - y_3}\).

3.5 Чтобы найти координаты точки M, которая делит отрезок AB в данном отношении, мы можем использовать формулу секущей точки: \(M(x, y) = \left(\frac{x_1 + tx_2}{1 + t}, \frac{y_1 + ty_2}{1 + t}\right)\), где t - отношение, в котором точка M делит отрезок AB.

3.6 Каноническое уравнение прямой может быть записано, зная две точки A и B на этой прямой. Уравнение имеет вид \(Ax + By + C = 0\), где A, B и C могут быть найдены следующим образом:

1. Найдем коэффициенты A и B: \(A = y_1 - y_2\) и \(B = x_2 - x_1\).
2. Найдем коэффициент C, используя одну из точек (например, A): \(C = -Ax_1 - By_1\).

3.7 Уравнение прямой с угловым коэффициентом \(m\) и угловым коэффициентом \(b\) может быть записано в форме \(y = mx + b\), где \(m\) представляет собой угловой коэффициент прямой, а \(b\) - ее смещение по оси y. С учетом координат двух точек, A и B, на этой прямой, значения \(m\) и \(b\) могут быть найдены следующим образом:

1. Найдем угловой коэффициент: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
2. Найдем смещение: \(b = y_1 - mx_1\).