Известны координаты трех точек в прямоугольной системе координат, которые являются вершинами треугольника. Вопросы

3.1 Для нахождения координат векторов и их длины, нам необходимо использовать формулы из алгебры. Предположим, что у нас есть две точки A и B с координатами $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$. Чтобы найти координаты вектора AB, мы вычитаем из координат точки B координаты точки A: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$.

Для нахождения длины вектора AB используем формулу длины вектора, также известную как Евклидова норма: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$.

3.2 Чтобы найти скалярное произведение векторов и угол между ними, нам нужно использовать следующую формулу:

Скалярное произведение двух векторов AB и CD равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CD}|\cdot \cos \theta$, где $\theta$ - угол между векторами.

Угол между векторами можно найти, используя обратную функцию косинуса: $\theta =\arccos \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CD}|}$.

3.3 Чтобы найти векторное произведение двух векторов AB и CD, мы можем использовать определитель 2x2 матрицы из компонент векторов: $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=\left|\begin{array}{cc}i& j\\ (x_2-x_1)& (y_2-y_1)\end{array}\right|=(x_2-x_1)j-(y_2-y_1)i$.

Площадь треугольника ABC, где A, B и C - вершины треугольника, равна половине модуля векторного произведения двух его сторон AB и AC: $S_{ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$.

3.4 Чтобы найти значение параметра t, при котором векторы AB и CD коллинеарны, мы можем сравнить их соответствующие компоненты. Если их отношение константно, то векторы коллинеарны. Другими словами, для векторов AB и CD: $\frac{x_2-x_1}{x_4-x_3}=\frac{y_2-y_1}{y_4-y_3}$.

3.5 Чтобы найти координаты точки M, которая делит отрезок AB в данном отношении, мы можем использовать формулу секущей точки: $M(x,y)=(\frac{x_1+t{x}_2}{1+t},\frac{y_1+t{y}_2}{1+t})$, где t - отношение, в котором точка M делит отрезок AB.

3.6 Каноническое уравнение прямой может быть записано, зная две точки A и B на этой прямой. Уравнение имеет вид $Ax+By+C=0$, где A, B и C могут быть найдены следующим образом:

1. Найдем коэффициенты A и B: $A=y_1-y_2$ и $B=x_2-x_1$.
2. Найдем коэффициент C, используя одну из точек (например, A): $C=-A{x}_1-B{y}_1$.

3.7 Уравнение прямой с угловым коэффициентом $m$ и угловым коэффициентом $b$ может быть записано в форме $y=mx+b$, где $m$ представляет собой угловой коэффициент прямой, а $b$ - ее смещение по оси y. С учетом координат двух точек, A и B, на этой прямой, значения $m$ и $b$ могут быть найдены следующим образом:

1. Найдем угловой коэффициент: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.
2. Найдем смещение: $b=y_1-m{x}_1$.