Известно, что в треугольнике ABC сторона AB равна 12, сторона BC равна 5, а сторона CA равна 10. Точка D лежит

Чтобы найти длину отрезка EF, нам понадобится воспользоваться свойствами вписанных окружностей. Давайте рассмотрим подробное пошаговое решение этой задачи.

Шаг 1: Найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы полупериметра треугольника. Полупериметр треугольника ABC можно найти, сложив все стороны треугольника и разделив полученную сумму на 2:
\[p = \frac{AB + BC + CA}{2}\]
\[p = \frac{12 + 5 + 10}{2} = \frac{27}{2} = 13,5\]

Шаг 2: Используя площадь треугольника \(ABC\) и длины сторон треугольника, мы можем найти его радиус вписанной окружности с помощью формулы:
\[r = \frac{\text{Площадь } ABC}{p}\]
\[r = \frac{\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-CA)}}{p}\]
\[r = \frac{\sqrt{13,5(13,5-12)(13,5-5)(13,5-10)}}{13,5}\]
\[r = \frac{\sqrt{13,5 \cdot 1,5 \cdot 8,5 \cdot 3,5}}{13,5} \approx \frac{\sqrt{1509,375}}{13,5} \approx \frac{38,8419}{13,5} \approx 2,88\]

Шаг 3: Для треугольника ADC, длина стороны AD равна сумме радиуса вписанной окружности треугольника ADC и радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC:
\[AD = r_{ADC} + r_{ABC} = 2,88 + 2,88 = 5,76\]

Шаг 4: Пользуясь теоремой Пифагора, найдем длины отрезков BD и DC:
\[BC^2 = BD^2 + DC^2\]
\[5^2 = BD^2 + \left(5,76 - \frac{4}{9} \cdot 5,76\right)^2\]
\[25 = BD^2 + \left(5,76 - \frac{4}{9} \cdot 5,76\right)^2\]
\[BD^2 = 25 - \left(5,76 - \frac{4}{9} \cdot 5,76\right)^2\]
\[BD^2 \approx 25 - 1,525376\]
\[BD^2 \approx 23,474624\]
\[BD \approx \sqrt{23,474624} \approx 4,846\]
\[DC = 5 - BD \approx 5 - 4,846 \approx 0,154\]

Шаг 5: Найдем длину отрезка EF, пользуясь фактом, что отрезки EF и DE являются радиусами вписанных окружностей треугольников ADC и ADB соответственно:
\[EF = DE = r_{ADC} = 2,88\]

Итак, длина отрезка EF равна 2,88.