Известно, что в начальный момент времени заряд в колебательном контуре составлял 7 Кл, а ток в нулевой момент времени

Для решения данной задачи, нужно решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

\[ x"" + 12x" + 49x = 0 \]

Чтобы найти частное решение, предположим, что \( x(t) \) может быть представлено в виде \( x(t) = A \cdot e^{rt} \), где \( A \) - амплитуда, а \( r \) - постоянная, которую мы должны найти.

Подставим эту функцию в дифференциальное уравнение:

\[ r^2 \cdot A \cdot e^{rt} + 12 \cdot r \cdot A \cdot e^{rt} + 49 \cdot A \cdot e^{rt} = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель \( A \cdot e^{rt} \) из уравнения:

\[ A \cdot e^{rt} \cdot (r^2 + 12r + 49) = 0 \]

Поскольку \( A \cdot e^{rt} \) не равно нулю для всех значения времени \( t \), мы должны приравнять выражение в скобках к нулю:

\[ r^2 + 12r + 49 = 0 \]

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 144 - 196 = -52 \]

Так как дискриминант отрицательный, у нас есть два комплексных корня:

\[ r_1 = \frac{-12 + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 + i\sqrt{52}}{2} = -6 + 2i\sqrt{13} \]
\[ r_2 = \frac{-12 - \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 - i\sqrt{52}}{2} = -6 - 2i\sqrt{13} \]

Так как мы получили комплексные корни, то общее решение имеет вид:

\[ x(t) = e^{-6t} \cdot (C_1 \cos(2\sqrt{13}t) + C_2 \sin(2\sqrt{13}t)) \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) - произвольные константы, которые можно определить, используя начальные условия.

Теперь определим амплитуду колебаний. Амплитуда \( A \) определяется как максимальное отклонение от равновесной позиции. В нашем случае, колебания заряда в контуре описываются функцией \( x(t) = A \cdot e^{-6t} \cdot \cos(2\sqrt{13}t) \), поэтому амплитуда равна \( A \).

Определение периода и частоты колебаний связано с функцией \( x(t) \). Период \( T \) - это время, за которое заряд выполняет одно полное колебание. Частота \( f \) - это количество полных колебаний в единицу времени. В нашем случае, \( T \) и \( f \) связаны формулами:

\[ T = \frac{2\pi}{2\sqrt{13}} = \frac{\pi}{\sqrt{13}}, \quad f = \frac{1}{T} = \frac{\sqrt{13}}{\pi} \]

Наконец, чтобы найти величину индуктивности колебательного контура, нужно знать связь между параметрами колебательного контура и уравнением колебаний. В общем случае, уравнение колебаний имеет вид:

\[ x"" + \frac{R}{L} \cdot x" + \frac{1}{LC} \cdot x = 0 \]

где \( R \) - сопротивление, \( L \) - индуктивность, а \( C \) - ёмкость колебательного контура.

Сравнивая это уравнение с нашим уравнением, можно заметить, что \( \frac{R}{L} = 12 \), а \( \frac{1}{LC} = 49 \).

Отсюда можно сделать вывод, что величина индуктивности колебательного контура равна:

\[ L = \frac{R}{12} = \frac{1}{49C} \]

Таким образом, мы нашли решение дифференциального уравнения, определили амплитуду, период, частоту колебаний и величину индуктивности колебательного контура. Если у вас остались вопросы или требуется дополнительное объяснение, пожалуйста, свяжитесь со мной.