Измените следующие выражения: 1) Как переформулировать выражение sin²2a + cos²2a + ctg²5a? 2) Как переформулировать

Давайте пошагово рассмотрим каждую задачу:

1) Начнем с переформулировки выражения \( \sin^2(2a) + \cos^2(2a) + \cot^2(5a) \).
Мы знаем формулу тригонометрической тождества, которая гласит: \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \).
Применим эту формулу к первым двум слагаемым и получим: \( 1 + \cot^2(5a) \).
Теперь нам нужно переформулировать последнее слагаемое \( \cot^2(5a) \).
Применим другую формулу тригонометрической тождества, которая гласит: \( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \).
Используя эту формулу, мы можем записать \( \cot^2(5a) \) как \( \left(\frac{1}{\tan(5a)}\right)^2 \).
Итак, окончательное переформулированное выражение будет: \( 1 + \left(\frac{1}{\tan(5a)}\right)^2 \).

2) Переформулируем выражение \( \sin\left(\frac{a}{3}\right) \cdot \cot\left(\frac{a}{3}\right) \).
Вспомним формулу тригонометрической тождества, которая гласит: \( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \).
Мы можем применить эту формулу и записать выражение как:
\( \sin\left(\frac{a}{3}\right) \cdot \frac{1}{\tan\left(\frac{a}{3}\right)} \).

3) Переформулируем выражение \( 1 - \frac{1}{\sin^2(y)} \).
Здесь мы можем использовать формулу тригонометрической тождества \( \csc^2(x) = \frac{1}{\sin^2(x)} \).
Применяя эту формулу, мы можем записать выражение как: \( 1 - \frac{1}{\csc^2(y)} \).

4) Рассмотрим выражение \( \frac{\sin^2(a) - 1}{\cos^2(a) - 1} + \tan(a) \cdot \cot(a) \).
Видим, что выражения \(\sin^2(a) - 1\) и \(\cos^2(a) - 1\) можно переписать с использованием формулы тригонометрической тождества \( \sin^2(x) - \cos^2(x) = -1 \).
Мы можем заменить эти два слагаемых на \(-1\), получив тогда: \( \frac{-1}{-1} + \tan(a) \cdot \cot(a) \).
Заметим, что \(\frac{-1}{-1} = 1\), поэтому наше выражение упрощается до \( 1 + \tan(a) \cdot \cot(a) \).

5) Наконец, рассмотрим выражение \( (\tan(a) \cdot \cos(a))^2 + (\cot(a) \cdot \sin(a))^2 \).
Заметим, что \(\tan(a) \cdot \cot(a) = 1\) согласно формуле тригонометрической тождества.
Тогда наше выражение упрощается до \( \cos^2(a) + \sin^2(a) \).
Используя другую формулу тригонометрической тождества \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \),
мы можем окончательно записать выражение как: \( 1 \).