Из-за каких-то причин две задачи из экзамена ЕГЭ, обозначенные номером 16, не решены и были забыты, но они довольно

Для решения задачи #1 нам нужно провести некоторое рассуждение и использовать свойства равнобедренного треугольника.

а) Чтобы доказать, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, проходит через середину отрезка pq, нам нужно воспользоваться свойством равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому ap = cq.

Рассмотрим треугольник aqp. Поскольку ap = cq, у него две равные стороны и, следовательно, углы при этих сторонах также равны. Так как углы apq и cqa имеют общую сторону aq, то они должны быть смежными углами. Отсюда следует, что прямая pq параллельна основанию и проходит через середину отрезка pq, поскольку середина отрезка является серединным перпендикуляром к базе треугольника.

б) Чтобы найти длину отрезка прямой pq, который находится внутри вписанной окружности треугольника abc, будем использовать свойства равнобедренного треугольника и равенства площадей треугольников.

Из условия задачи мы знаем, что ab = ac = bc = 3√2, а cq = ap = √2. Обозначим точку D как середину стороны bc. Поскольку abc - равнобедренный треугольник, BD = CD = bc/2 = 3√2/2.

Также, из предыдущего пункта задачи мы знаем, что прямая pq проходит через середину отрезка AD (обозначим её как точку M).

Чтобы найти длину отрезка pq, рассмотрим треугольник adc. Так как это равнобедренный треугольник, BD = CD. Также, поскольку AM является серединным перпендикуляром к базе dc, то AM является высотой треугольника, и два треугольника adm и cmd равны по площади. Обозначим длину отрезка pq как x.

Теперь используем равенство площадей этих треугольников:

\(\text{Площадь } \triangle adm = \text{Площадь } \triangle cmd\)

\(\frac{AM \cdot AD}{2} = \frac{CM \cdot DC}{2}\)

\(\frac{AM \cdot (AD - x)}{2} = \frac{(AM - x) \cdot DC}{2}\)

\(AM \cdot AD - AM \cdot x = AM \cdot DC - x \cdot DC\)

\(AM \cdot x - x \cdot DC = AM \cdot AD - AM \cdot DC\)

\(x \cdot (AM - DC) = AM \cdot (AD - DC)\)

\(x = \frac{AM \cdot (AD - DC)}{AM - DC}\)

Так как AM = AD/2 и DC = 3√2/2, мы можем подставить эти значения:

\(x = \frac{\frac{AD}{2} \cdot \left(AD - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}{\frac{AD}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}}\)

\(x = \frac{AD \cdot (AD - \frac{3\sqrt{2}}{2})}{AD - 3\sqrt{2}}\)

Теперь заметим, что AD = BD + BA/2 = \(\frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}\)

Подставим это значение и продолжим упрощать выражение:

\(x = \frac{\frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{9\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2})}{\frac{9\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{2}}\)

\(x = \frac{\frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{6\sqrt{2}}{2}}{\frac{6\sqrt{2}}{2}}\)

\(x = \frac{9\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}\)

\(x = \frac{54}{6}\)

\(x = 9\)

Таким образом, длина отрезка pq, который находится внутри вписанной окружности треугольника abc, равна 9.

Перейдем к решению задачи #2. Вернемся к условию задачи:

Стороны ab и ac равнобедренного треугольника abc вдвое больше основания bc.

Пусть основание треугольника bc имеет длину x. Тогда стороны ab и ac будут равны 2x.

Рассмотрим треугольник abc. У него три равных стороны: ab = ac = 2x и bc = x.

Для начала найдем углы треугольника. Известно, что сумма углов треугольника равна 180°. Раз треугольник равнобедренный, то два угла при основании равны, обозначим их как угол a. Тогда сумма углов a + a + b = 180°, где b - угол при вершине треугольника.

\(2a + b = 180°\)

Угол b, как угол при вершине равнобедренного треугольника, может быть найден с помощью формулы угла вписанной окружности:

\(b = \frac{180° - \text{угол при основании треугольника}}{2}\)

\(b = \frac{180° - 120°}{2}\)

\(b = \frac{60°}{2}\)

\(b = 30°\)

Теперь, зная все углы треугольника, можно найти его площадь. Рассмотрим треугольник abc.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы:

\(S = \frac{1}{2} \cdot bc \cdot h\)

где S - площадь треугольника, bc - длина основания треугольника, h - высота треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, его высота будет проходить из вершины и перпендикулярна к основанию треугольника. Обозначим высоту как h.

Теперь, чтобы найти высоту треугольника, рассмотрим прямоугольный треугольник adh (где d - середина стороны bc).

Из этого прямоугольного треугольника adh можно получить следующие отношения:

\(tan(a) = \frac{h}{x/2}\) (тангенс угла против основания равен отношению высоты к половине основания)

\(h = \frac{x}{2} \cdot tan(a)\)

Теперь мы можем найти площадь треугольника abc:

\(S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{x}{2} \cdot tan(a)\)

\(S = \frac{1}{4} \cdot x^2 \cdot tan(a)\)

Теперь перейдем к задаче #2. Условие говорит нам, что на сторонах ab и ac треугольника abc, которые вдвое больше основания bc, отложены отрезки ab" и ac" такие, что ab" = 3x и ac" = 2x.

Внимательно рассмотрев это условие, мы замечаем, что отрезки ab" и ac" имеют длину 3x и 2x соответственно, что означает, что они превышают длину сторон ab и ac и, следовательно, выходят за пределы треугольника abc.

На этом моменте мы понимаем, что условие задачи некорректно и не имеет решения.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам лучше понять, как решать эти интересные задачи. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!