Из области комбинаторики: На детской карусели стоят семь идентичных лошадок, расположенных в круг. Стражник весной

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся методом полиномиальных коэффициентов. Представим каждого стражника как место для размещения одного из n цветов. Так как лошадки различны, а кортежи с одинаковыми элементами считаются одним вариантом, мы разделим количество вариантов на 7, чтобы учесть повороты карусели.

Начнем с того, что рассмотрим случай, когда количество цветов равно 1. В таком случае, у стражника есть только один цвет, и он может покрасить все лошадки одним цветом. В данной задаче такой вариант нам не подходит, поэтому необходимо рассмотреть другие варианты.

Рассмотрим случай, когда количество цветов равно 2. При этом у нас есть два варианта: или все лошадки одного цвета, или каждая лошадка покрашена в разные цвета. Первый вариант нам тоже не подходит, но второй вариант нам подходит. Поэтому для этого случая у нас есть только один вариант раскраски.

Теперь рассмотрим случай, когда количество цветов равно 3. Здесь возможны следующие варианты:
- Все лошадки одного цвета: такой вариант нам не подходит.
- Две лошадки одного цвета, пять лошадок разного цвета: это возможно на \(C(7, 2)\) способов.
- Три лошадки одного цвета, четыре лошадки разного цвета: это возможно на \(C(7, 3)\) способов.

Теперь обобщим полученные результаты. Для случая с n цветами, где \(1 \leq n \leq 7\), мы получаем:

- Всего способов покрасить карусель без учета поворотов: \(\binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \binom{n}{4} + \binom{n}{5} + \binom{n}{6} + \binom{n}{7}\) (сумма всех сочетаний для количества лошадок от 1 до 7).
- Способов покрасить карусель с учетом поворотов: \(\frac{1}{7} \times (\binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \binom{n}{4} + \binom{n}{5} + \binom{n}{6} + \binom{n}{7})\).

Таким образом, общее количество различных вариантов раскраски карусели составляет \(\frac{1}{7} \times (\binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \binom{n}{4} + \binom{n}{5} + \binom{n}{6} + \binom{n}{7})\).

Теперь давайте посчитаем это. Ответом будет: \(\frac{n^7 - n}{7}\).