Из каких векторов состоит базис множества решений однородного уравнения х1+2х2+3х3+х4=0?

Для начала, мы можем преобразовать данное однородное уравнение в матричную форму. Запишем коэффициенты при неизвестных в виде строки и добавим столбец с нулевыми значениями для правой части уравнения:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix}
\]

Чтобы определить базис множества решений, нужно найти ФСР (фундаментальную систему решений) для данного однородного уравнения. Это означает, что нужно найти все решения данного уравнения, а затем выбрать такие решения, которые образуют базис.

Давайте решим данное уравнение. Стандартным способом решения системы линейных уравнений является использование метода Гаусса. Применим этот метод к данной системе:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix}
\]

Применим элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix}
\]

Первый шаг: Вычтем двойное значение первого столбца из второго столбца:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 - 2x_1 \\
x_3 \\
x_4 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix}
\]

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -3 & -1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 - 2x_1 \\
x_3 \\
x_4 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь матрица имеет ступенчатый вид. Мы можем заметить, что у нее есть свободная переменная \(x_3\).

Итак, наша ФСР будет содержать три вектора:

\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\quad
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\quad
\begin{bmatrix}
3 \\
-2 \\
1 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]

Таким образом, базис множества решений данного однородного уравнения состоит из трех векторов:

\[
\begin{aligned}
\{
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
3 \\
-2 \\
1 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\}
\end{aligned}
\]

Или, в векторной форме:

\[
\{
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
\end{bmatrix}
=
x_1
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}
+
x_2
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}
+
x_3
\begin{bmatrix}
3 \\
-2 \\
1 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\}
\]

Это и есть наш ответ. Базис множества решений состоит из трех векторов, как описано выше.