Сколько пятизначных чисел с двумя тройками и по одной единице, двойке и четверке в записи можно образовать?

Давайте решим задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем количество способов разместить тройки цифр.
Количество пятизначных чисел с двумя тройками равно количеству способов выбрать 2 места из 5 для размещения троек, умноженному на количество способов выбрать две из трех троек. Это можно выразить формулой комбинаторики:
\[\binom {5}{2} \times \binom {3}{2}\]

Шаг 2: Найдем количество способов разместить оставшиеся цифры.
После размещения троек, остается только разместить единицу, двойку и четверку. Мы можем сделать это в любом порядке. Так как осталось 2 пустых места и 3 цифры, то количество способов будет равно 3!

Шаг 3: Умножим полученные результаты.
Чтобы найти общее количество пятизначных чисел с двумя тройками и по одной единице, двойке и четверке, мы умножим количество способов разместить тройки и количество способов разместить оставшиеся цифры:
\[\binom {5}{2} \times \binom {3}{2} \times 3!\]

Шаг 4: Вычислим значение выражения.
Воспользуемся формулами для вычисления биномиальных коэффициентов:
\[\binom {5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\]
\[\binom {3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3}{1} = 3\]
3! = 3 факториал равно 3 * 2 * 1 = 6

Теперь соберем все вместе:
\[\binom {5}{2} \times \binom {3}{2} \times 3! = 10 \times 3 \times 6 = 180\]

Значит, можно образовать 180 пятизначных чисел с двумя тройками и по одной единице, двойке и четверке в записи.

Надеюсь, этот пошаговый ответ был понятен! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.