Используя свойства скалярного и векторного произведений, требуется вычислить значение угла между векторами a и

1.Для вычисления угла между векторами a и b используем свойство скалярного произведения:

Угол \(\theta\) между векторами a и b можно найти по формуле:
\(\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{\|a\| \cdot \|b\|}\),

где \(a \cdot b\) - скалярное произведение векторов a и b,
\(\|a\|\) и \(\|b\|\) - длины векторов a и b соответственно.

Вычисляем скалярное произведение векторов a и b:
\(a \cdot b = (4p + 2q) \cdot (3p - q)\).

Применяем свойство дистрибутивности и раскрываем скобки:
\(a \cdot b = 12p^2 - 4pq + 6pq - 2q^2 = 12p^2 + 2pq - 2q^2\).

Теперь найдем длины векторов a и b:

Для вектора a:
\(\|a\| = \sqrt{(4p + 2q) \cdot (4p + 2q)} = \sqrt{16p^2 + 16pq + 4q^2}\).

Для вектора b:
\(\|b\| = \sqrt{(3p - q) \cdot (3p - q)} = \sqrt{9p^2 - 6pq + q^2}\).

Теперь подставим значения в формулу для угла \(\theta\):
\(\cos(\theta) = \frac{12p^2 + 2pq - 2q^2}{\sqrt{16p^2 + 16pq + 4q^2} \cdot \sqrt{9p^2 - 6pq + q^2}}\).

Чтобы найти значение угла \(\theta\), возьмем арккосинус от полученного значения:
\(\theta = \arccos\left(\frac{12p^2 + 2pq - 2q^2}{\sqrt{16p^2 + 16pq + 4q^2} \cdot \sqrt{9p^2 - 6pq + q^2}}\right)\).

Таким образом, мы нашли значение угла между векторами a и b.

2. Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах a и b используем свойство векторного произведения:

Площадь параллелограмма можно найти по формуле:
\(S = \|a \times b\|\),

где \(a \times b\) - векторное произведение векторов a и b.

Вычисляем векторное произведение векторов a и b:
\(a \times b = (4p + 2q) \times (3p - q)\).

Применяем свойство дистрибутивности и раскрываем скобки:
\(a \times b = 12p^2 - 4pq - 6pq + 2q^2 = 12p^2 - 10pq + 2q^2\).

Теперь вычисляем площадь параллелограмма:
\(S = \sqrt{(12p^2 - 10pq + 2q^2) \cdot (12p^2 - 10pq + 2q^2)} = \sqrt{144p^4 - 240p^3q + 84p^2q^2 + 20p^2q^2 - 20pq^3 + 4q^4}\).

Упрощаем выражение:
\(S = \sqrt{144p^4 - 240p^3q + 104p^2q^2 - 20pq^3 + 4q^4}\).

Таким образом, мы нашли площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.