Используя каноническое уравнение гиперболы х2/36-y2/64=1, найдите полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот

Хорошо, давайте пошагово решим задачу.

1. Найдем полуоси:
Для гиперболы с каноническим уравнением \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), полуоси определяются значениями \(a\) и \(b\).
В данном случае у нас каноническое уравнение гиперболы \(\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1\), поэтому \(a = 6\) и \(b = 8\).
Таким образом, полуоси равны 6 и 8.

2. Найдем фокусы:
Фокусы гиперболы можно найти с помощью формулы \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), где \(c\) - расстояние от центра до фокуса.
Подставляя значения \(a = 6\) и \(b = 8\) в эту формулу, получим \(c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).
Таким образом, расстояние от центра до фокуса равно 10. Фокусы будут находиться на оси \(x\) в точках (±c, 0), то есть (-10, 0) и (10, 0).

3. Найдем эксцентриситет:
Эксцентриситет гиперболы можно найти с помощью формулы \(e = \frac{c}{a}\), где \(c\) - фокусное расстояние, а \(a\) - полуось.
Подставляя значения \(c = 10\) и \(a = 6\) в эту формулу, получим \(e = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\).
Таким образом, эксцентриситет гиперболы равен \(\frac{5}{3}\).

4. Найдем уравнение асимптот:
Уравнение асимптот гиперболы имеет вид \(y = \pm \frac{b}{a}x\).
Подставляя значения \(a = 6\) и \(b = 8\) в это уравнение, получаем:
Уравнение асимптот 1: \(y = \frac{8}{6}x = \frac{4}{3}x\).
Уравнение асимптот 2: \(y = -\frac{8}{6}x = -\frac{4}{3}x\).

5. Найдем уравнение директрис:
Уравнение директрис гиперболы имеет вид \(x = \pm \frac{a}{e}\).
Подставляя значения \(a = 6\) и \(e = \frac{5}{3}\) в это уравнение, получаем:
Уравнение директрис 1: \(x = \frac{6}{\frac{5}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{5} = \frac{18}{5}\).
Уравнение директрис 2: \(x = -\frac{6}{\frac{5}{3}} = -\frac{6 \cdot 3}{5} = -\frac{18}{5}\).

6. Найдем уравнение касательной в точке (-15, -4√21):
Для нахождения уравнения касательной в данной точке, сначала найдем угловой коэффициент касательной (производную).
Дифференцируя уравнение гиперболы, получим \(\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2x}{a^2y}\).
Подставляя значения \(a = 6\), \(b = 8\) и точку (-15, -4√21) в эту формулу, получаем \(\frac{dy}{dx} = -\frac{8^2(-15)}{6^2(-4\sqrt{21})} = \frac{120}{24\sqrt{21}} = \frac{5}{\sqrt{21}}\).
Теперь, используя угловой коэффициент и точку (-15, -4√21), составим уравнение касательной в точке:
\(y - (-4\sqrt{21}) = \frac{5}{\sqrt{21}}(x - (-15))\).
Упрощая это уравнение, получаем \(y = \frac{5}{\sqrt{21}}x + 35\sqrt{21}\).

7. Нарисуем график:

Теперь у нас есть решение задачи - полуоси равны 6 и 8, фокусы находятся в точках (-10, 0) и (10, 0), эксцентриситет равен \(\frac{5}{3}\), уравнения асимптот - \(y = \frac{4}{3}x\) и \(y = -\frac{4}{3}x\), уравнения директрис - \(x = \frac{18}{5}\) и \(x = -\frac{18}{5}\), а уравнение касательной в точке (-15, -4√21) - \(y = \frac{5}{\sqrt{21}}x + 35\sqrt{21}\). Надеюсь, это решение поможет вам лучше понять данную задачу. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.