Is the solution to the inequality -2logx/3 ≥ log3 (27x+1)?

Veterok_5694
Конечно! Давайте пошагово решим данное неравенство и обоснуем наши шаги.
Шаг 1: Начнем с переписывания данного неравенства в эквивалентной форме.
Учитывая, что , мы можем переписать данное неравенство следующим образом:
Шаг 2: Упростим левую сторону неравенства.
Для этого мы можем умножить обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
Шаг 3: Применим логарифмические свойства для объединения логарифмов.
Используя свойство логарифма , мы можем переписать правую часть неравенства:
Шаг 4: Преобразуем логарифм с основанием 3 в логарифм с основанием 10.
Мы можем воспользоваться формулой замены основания логарифма , где - это произвольное положительное число. В данном случае выберем :
Шаг 5: Упростим неравенство, оценивая логарифмы с основанием 10.
Заметим, что у нас появилась новая константа . Преобразуем неравенство следующим образом:
Шаг 6: Преобразуем логарифмы в степени.
Используя свойство логарифма , перепишем неравенство:
Шаг 7: Перепишем неравенство в экспоненциальной форме.
Мы можем записать неравенство в эквивалентной форме, используя связь между логарифмами и экспонентами:
Шаг 8: Упростим правую сторону неравенства.
Используя свойство экспоненты , мы можем переписать правую сторону неравенства:
Шаг 9: Возведем в степень обе стороны неравенства.
Возведем обе стороны неравенства в степень :
Шаг 10: Упростим правую сторону неравенства.
Вычислим :
Шаг 11: Перенесем все члены в левую сторону неравенства.
Вычитаем из обеих сторон:
Шаг 12: Найдем общий знаменатель и упростим выражение.
Умножим выражение на (предполагая, что ):
Шаг 13: Приведем выражение к общему знаменателю.
Учитывая, что , можем переписать неравенство следующим образом:
Шаг 14: Упростим выражение в скобках.
Используя свойство степени , умножим степени:
Шаг 15: Перенесем 1 в правую сторону неравенства.
Прибавляем 1 к обеим сторонам:
Шаг 16: Разберемся с левой стороной неравенства.
Возведем левую сторону неравенства в степень :
Шаг 17: Упростим числитель и знаменатель степени.
Упростим дробь и найдем их общий знаменатель:
Шаг 18: Возведем обе стороны неравенства в степень .
Неравенство сохраняется при возведении в положительную степень:
Шаг 19: Упростим правую сторону неравенства.
Любое число, возведенное в степень 1, равно самому себе:
Шаг 20: Докажем исходное неравенство.
Так как основание степени является положительным числом и у нас есть неравенство с положительной степенью этого основания, то это неравенство выполняется при любом положительном .
Таким образом, решением данного неравенства является множество положительных чисел .
Шаг 1: Начнем с переписывания данного неравенства в эквивалентной форме.
Учитывая, что
Шаг 2: Упростим левую сторону неравенства.
Для этого мы можем умножить обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
Шаг 3: Применим логарифмические свойства для объединения логарифмов.
Используя свойство логарифма
Шаг 4: Преобразуем логарифм с основанием 3 в логарифм с основанием 10.
Мы можем воспользоваться формулой замены основания логарифма
Шаг 5: Упростим неравенство, оценивая логарифмы с основанием 10.
Заметим, что у нас появилась новая константа
Шаг 6: Преобразуем логарифмы в степени.
Используя свойство логарифма
Шаг 7: Перепишем неравенство в экспоненциальной форме.
Мы можем записать неравенство в эквивалентной форме, используя связь между логарифмами и экспонентами:
Шаг 8: Упростим правую сторону неравенства.
Используя свойство экспоненты
Шаг 9: Возведем в степень обе стороны неравенства.
Возведем обе стороны неравенства в степень
Шаг 10: Упростим правую сторону неравенства.
Вычислим
Шаг 11: Перенесем все члены в левую сторону неравенства.
Вычитаем
Шаг 12: Найдем общий знаменатель и упростим выражение.
Умножим выражение на
Шаг 13: Приведем выражение к общему знаменателю.
Учитывая, что
Шаг 14: Упростим выражение в скобках.
Используя свойство степени
Шаг 15: Перенесем 1 в правую сторону неравенства.
Прибавляем 1 к обеим сторонам:
Шаг 16: Разберемся с левой стороной неравенства.
Возведем левую сторону неравенства в степень
Шаг 17: Упростим числитель и знаменатель степени.
Упростим дробь
Шаг 18: Возведем обе стороны неравенства в степень
Неравенство сохраняется при возведении в положительную степень:
Шаг 19: Упростим правую сторону неравенства.
Любое число, возведенное в степень 1, равно самому себе:
Шаг 20: Докажем исходное неравенство.
Так как основание степени
Таким образом, решением данного неравенства является множество положительных чисел
Знаешь ответ?