Is the solution to the inequality -2logx/3 ≥ log3 (27x+1)?

Конечно! Давайте пошагово решим данное неравенство и обоснуем наши шаги.

Шаг 1: Начнем с переписывания данного неравенства в эквивалентной форме.
Учитывая, что \(\log_b (a^n) = n \cdot \log_b (a)\), мы можем переписать данное неравенство следующим образом:

\(-2 \cdot \frac{{\log{x}}}{3} \geq \log_3{(27x+1)}\)

Шаг 2: Упростим левую сторону неравенства.
Для этого мы можем умножить обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

\(-2 \cdot \log{x} \geq 3 \cdot \log_3{(27x+1)}\)

Шаг 3: Применим логарифмические свойства для объединения логарифмов.
Используя свойство логарифма \(\log_b a + \log_b c = \log_b{(a \cdot c)}\), мы можем переписать правую часть неравенства:

\(-2 \cdot \log{x} \geq \log_3{((27x+1)^3)}\)

Шаг 4: Преобразуем логарифм с основанием 3 в логарифм с основанием 10.
Мы можем воспользоваться формулой замены основания логарифма \(\log_b a = \frac{{\log_c a}}{{\log_c b}}\), где \(c\) - это произвольное положительное число. В данном случае выберем \(c = 10\):

\(-2 \cdot \log{x} \geq \frac{{\log_{10}{((27x+1)^3)}}}{{\log_{10}{3}}}\)

Шаг 5: Упростим неравенство, оценивая логарифмы с основанием 10.
Заметим, что у нас появилась новая константа \(k = \frac{{\log_{10}{3}}}{{3}}\). Преобразуем неравенство следующим образом:

\(-2 \cdot \log{x} \geq k \cdot \log_{10}{((27x+1)^3)}\)

Шаг 6: Преобразуем логарифмы в степени.
Используя свойство логарифма \(\log_b{a^k} = k \cdot \log_b{a}\), перепишем неравенство:

\(-2 \cdot \log{x} \geq \log_{10}{((27x+1)^{3k})}\)

Шаг 7: Перепишем неравенство в экспоненциальной форме.
Мы можем записать неравенство в эквивалентной форме, используя связь между логарифмами и экспонентами:

\((27x+1)^{3k} \leq 10^{-2\log{x}}\)

Шаг 8: Упростим правую сторону неравенства.
Используя свойство экспоненты \(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\), мы можем переписать правую сторону неравенства:

\((27x+1)^{3k} \leq \frac{1}{x^2}\)

Шаг 9: Возведем в степень обе стороны неравенства.
Возведем обе стороны неравенства в степень \(\frac{1}{3k}\):

\((27x+1) \leq \left(\frac{1}{x^2}\right)^{\frac{1}{3k}}\)

Шаг 10: Упростим правую сторону неравенства.
Вычислим \(\left(\frac{1}{x^2}\right)^{\frac{1}{3k}}\):

\((27x+1) \leq x^{-\frac{2}{3k}}\)

Шаг 11: Перенесем все члены в левую сторону неравенства.
Вычитаем \(x^{-\frac{2}{3k}}\) из обеих сторон:

\((27x+1) - x^{-\frac{2}{3k}} \leq 0\)

Шаг 12: Найдем общий знаменатель и упростим выражение.
Умножим выражение на \(x^{\frac{2}{3k}}\) (предполагая, что \(x \neq 0\)):

\((27x+1) \cdot x^{\frac{2}{3k}} - 1 \leq 0\)

Шаг 13: Приведем выражение к общему знаменателю.
Учитывая, что \(27x = (3x)^3\), можем переписать неравенство следующим образом:

\((3x)^3 \cdot x^{\frac{2}{3k}} - 1 \leq 0\)

Шаг 14: Упростим выражение в скобках.
Используя свойство степени \((a^b)^c = a^{b \cdot c}\), умножим степени:

\((3x)^{3 + \frac{2}{3k}} - 1 \leq 0\)

Шаг 15: Перенесем 1 в правую сторону неравенства.
Прибавляем 1 к обеим сторонам:

\((3x)^{3 + \frac{2}{3k}} \leq 1\)

Шаг 16: Разберемся с левой стороной неравенства.
Возведем левую сторону неравенства в степень \(\frac{1}{3 + \frac{2}{3k}}\):

\((3x)^{\frac{3 + \frac{2}{3k}}{3 + \frac{2}{3k}}} \leq 1\)

Шаг 17: Упростим числитель и знаменатель степени.
Упростим дробь \(\frac{3 + \frac{2}{3k}}{3 + \frac{2}{3k}}\) и найдем их общий знаменатель:

\((3x)^{\frac{9k + 2}{9k + 2}} \leq 1\)

Шаг 18: Возведем обе стороны неравенства в степень \(\frac{9k + 2}{2}\).
Неравенство сохраняется при возведении в положительную степень:

\((3x)^{\frac{9k + 2}{9k + 2} \cdot \frac{9k + 2}{2}} \leq 1^{\frac{9k + 2}{2}}\)

\[(3x)^{\frac{9k + 2}{2}} \leq 1\]

Шаг 19: Упростим правую сторону неравенства.
Любое число, возведенное в степень 1, равно самому себе:

\((3x)^{\frac{9k + 2}{2}} \leq 1\)

Шаг 20: Докажем исходное неравенство.
Так как основание степени \(3x\) является положительным числом и у нас есть неравенство с положительной степенью этого основания, то это неравенство выполняется при любом положительном \(x\).

Таким образом, решением данного неравенства является множество положительных чисел \(x\).