Is the solution to the inequality -2logx/3 ≥ log3 (27x+1)?

Is the solution to the inequality -2logx/3 ≥ log3 (27x+1)?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Veterok_5694

Veterok_5694

Конечно! Давайте пошагово решим данное неравенство и обоснуем наши шаги.

Шаг 1: Начнем с переписывания данного неравенства в эквивалентной форме.
Учитывая, что logb(an)=nlogb(a), мы можем переписать данное неравенство следующим образом:

2logx3log3(27x+1)

Шаг 2: Упростим левую сторону неравенства.
Для этого мы можем умножить обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

2logx3log3(27x+1)

Шаг 3: Применим логарифмические свойства для объединения логарифмов.
Используя свойство логарифма logba+logbc=logb(ac), мы можем переписать правую часть неравенства:

2logxlog3((27x+1)3)

Шаг 4: Преобразуем логарифм с основанием 3 в логарифм с основанием 10.
Мы можем воспользоваться формулой замены основания логарифма logba=logcalogcb, где c - это произвольное положительное число. В данном случае выберем c=10:

2logxlog10((27x+1)3)log103

Шаг 5: Упростим неравенство, оценивая логарифмы с основанием 10.
Заметим, что у нас появилась новая константа k=log1033. Преобразуем неравенство следующим образом:

2logxklog10((27x+1)3)

Шаг 6: Преобразуем логарифмы в степени.
Используя свойство логарифма logbak=klogba, перепишем неравенство:

2logxlog10((27x+1)3k)

Шаг 7: Перепишем неравенство в экспоненциальной форме.
Мы можем записать неравенство в эквивалентной форме, используя связь между логарифмами и экспонентами:

(27x+1)3k102logx

Шаг 8: Упростим правую сторону неравенства.
Используя свойство экспоненты ab=1ab, мы можем переписать правую сторону неравенства:

(27x+1)3k1x2

Шаг 9: Возведем в степень обе стороны неравенства.
Возведем обе стороны неравенства в степень 13k:

(27x+1)(1x2)13k

Шаг 10: Упростим правую сторону неравенства.
Вычислим (1x2)13k:

(27x+1)x23k

Шаг 11: Перенесем все члены в левую сторону неравенства.
Вычитаем x23k из обеих сторон:

(27x+1)x23k0

Шаг 12: Найдем общий знаменатель и упростим выражение.
Умножим выражение на x23k (предполагая, что x0):

(27x+1)x23k10

Шаг 13: Приведем выражение к общему знаменателю.
Учитывая, что 27x=(3x)3, можем переписать неравенство следующим образом:

(3x)3x23k10

Шаг 14: Упростим выражение в скобках.
Используя свойство степени (ab)c=abc, умножим степени:

(3x)3+23k10

Шаг 15: Перенесем 1 в правую сторону неравенства.
Прибавляем 1 к обеим сторонам:

(3x)3+23k1

Шаг 16: Разберемся с левой стороной неравенства.
Возведем левую сторону неравенства в степень 13+23k:

(3x)3+23k3+23k1

Шаг 17: Упростим числитель и знаменатель степени.
Упростим дробь 3+23k3+23k и найдем их общий знаменатель:

(3x)9k+29k+21

Шаг 18: Возведем обе стороны неравенства в степень 9k+22.
Неравенство сохраняется при возведении в положительную степень:

(3x)9k+29k+29k+2219k+22

(3x)9k+221

Шаг 19: Упростим правую сторону неравенства.
Любое число, возведенное в степень 1, равно самому себе:

(3x)9k+221

Шаг 20: Докажем исходное неравенство.
Так как основание степени 3x является положительным числом и у нас есть неравенство с положительной степенью этого основания, то это неравенство выполняется при любом положительном x.

Таким образом, решением данного неравенства является множество положительных чисел x.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello