Is the solution to the inequality -2logx/3 ≥ log3 (27x+1)?

Конечно! Давайте пошагово решим данное неравенство и обоснуем наши шаги.

Шаг 1: Начнем с переписывания данного неравенства в эквивалентной форме.
Учитывая, что ${\log }_b(a^n)=n\cdot {\log }_b(a)$, мы можем переписать данное неравенство следующим образом:

$-2\cdot \frac{\log x}{3}\ge {\log }_3(27x+1)$

Шаг 2: Упростим левую сторону неравенства.
Для этого мы можем умножить обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$-2\cdot \log x\ge 3\cdot {\log }_3(27x+1)$

Шаг 3: Применим логарифмические свойства для объединения логарифмов.
Используя свойство логарифма ${\log }_{b}a+{\log }_{b}c={\log }_b(a\cdot c)$, мы можем переписать правую часть неравенства:

$-2\cdot \log x\ge {\log }_3((27x+1{)}^3)$

Шаг 4: Преобразуем логарифм с основанием 3 в логарифм с основанием 10.
Мы можем воспользоваться формулой замены основания логарифма ${\log }_{b}a=\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$, где $c$ - это произвольное положительное число. В данном случае выберем $c=10$:

$-2\cdot \log x\ge \frac{{\log }_{10}((27x+1{)}^3)}{{\log }_{10}3}$

Шаг 5: Упростим неравенство, оценивая логарифмы с основанием 10.
Заметим, что у нас появилась новая константа $k=\frac{{\log }_{10}3}{3}$. Преобразуем неравенство следующим образом:

$-2\cdot \log x\ge k\cdot {\log }_{10}((27x+1{)}^3)$

Шаг 6: Преобразуем логарифмы в степени.
Используя свойство логарифма ${\log }_b{a}^k=k\cdot {\log }_{b}a$, перепишем неравенство:

$-2\cdot \log x\ge {\log }_{10}((27x+1{)}^{3k})$

Шаг 7: Перепишем неравенство в экспоненциальной форме.
Мы можем записать неравенство в эквивалентной форме, используя связь между логарифмами и экспонентами:

$(27x+1{)}^{3k}\le {10}^{-2\log x}$

Шаг 8: Упростим правую сторону неравенства.
Используя свойство экспоненты $a^{-b}=\frac{1}{a^b}$, мы можем переписать правую сторону неравенства:

$(27x+1{)}^{3k}\le \frac{1}{x^2}$

Шаг 9: Возведем в степень обе стороны неравенства.
Возведем обе стороны неравенства в степень $\frac{1}{3k}$:

$(27x+1)\le {\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{\frac{1}{3k}}$

Шаг 10: Упростим правую сторону неравенства.
Вычислим ${\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{\frac{1}{3k}}$:

$(27x+1)\le x^{-\frac{2}{3k}}$

Шаг 11: Перенесем все члены в левую сторону неравенства.
Вычитаем $x^{-\frac{2}{3k}}$ из обеих сторон:

$(27x+1)-x^{-\frac{2}{3k}}\le 0$

Шаг 12: Найдем общий знаменатель и упростим выражение.
Умножим выражение на $x^{\frac{2}{3k}}$ (предполагая, что $x\ne 0$):

$(27x+1)\cdot x^{\frac{2}{3k}}-1\le 0$

Шаг 13: Приведем выражение к общему знаменателю.
Учитывая, что $27x=(3x{)}^3$, можем переписать неравенство следующим образом:

$(3x{)}^3\cdot x^{\frac{2}{3k}}-1\le 0$

Шаг 14: Упростим выражение в скобках.
Используя свойство степени $(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$, умножим степени:

$(3x{)}^{3+\frac{2}{3k}}-1\le 0$

Шаг 15: Перенесем 1 в правую сторону неравенства.
Прибавляем 1 к обеим сторонам:

$(3x{)}^{3+\frac{2}{3k}}\le 1$

Шаг 16: Разберемся с левой стороной неравенства.
Возведем левую сторону неравенства в степень $\frac{1}{3+\frac{2}{3k}}$:

$(3x{)}^{\frac{3+\frac{2}{3k}}{3+\frac{2}{3k}}}\le 1$

Шаг 17: Упростим числитель и знаменатель степени.
Упростим дробь $\frac{3+\frac{2}{3k}}{3+\frac{2}{3k}}$ и найдем их общий знаменатель:

$(3x{)}^{\frac{9k+2}{9k+2}}\le 1$

Шаг 18: Возведем обе стороны неравенства в степень $\frac{9k+2}{2}$.
Неравенство сохраняется при возведении в положительную степень:

$(3x{)}^{\frac{9k+2}{9k+2}\cdot \frac{9k+2}{2}}\le 1^{\frac{9k+2}{2}}$

$$(3x{)}^{\frac{9k+2}{2}}\le 1$$

Шаг 19: Упростим правую сторону неравенства.
Любое число, возведенное в степень 1, равно самому себе:

$(3x{)}^{\frac{9k+2}{2}}\le 1$

Шаг 20: Докажем исходное неравенство.
Так как основание степени $3x$ является положительным числом и у нас есть неравенство с положительной степенью этого основания, то это неравенство выполняется при любом положительном $x$.

Таким образом, решением данного неравенства является множество положительных чисел $x$.