Is the inequality x^2*log 25 x > = log 25 x^3 + x*log correct?

Чтобы проверить правильность неравенства $x^2{\log }_{25}x\ge {\log }_{25}{x}^3+x{\log }_{25}$, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Приведение неравенства к общему основанию логарифма.
Для начала преобразуем оба логарифма к общему основанию, выберем основание $10$:
$$x^2{\log }_{25}x\ge \frac{{\log }_{10}{x}^3}{{\log }_{10}25}+x{\log }_{25}1$$

Шаг 2: Применение свойств логарифмов.
Используем несколько свойств логарифмов:
- Правило суммы: ${\log }_a(b\cdot c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$
- Правило степени: ${\log }_a(b^k)=k\cdot {\log }_{a}b$
- Логарифм единицы: ${\log }_{a}1=0$
- Правило деления: ${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$

Разложим сумму в числителе и заменим некоторые значения в формуле:
$$x^2{\log }_{25}x\ge \frac{3{\log }_{10}x}{2{\log }_{10}5}+0$$

Шаг 3: Приведение логарифмов к десятичному основанию.
Поскольку мы заменили основание логарифма на 10, преобразуем оставшиеся логарифмы в десятичные логарифмы. Для этого воспользуемся формулой изменения основания:
$${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$$

Применим эту формулу к исходному неравенству:
$$x^2\cdot \frac{{\log }_{10}x}{{\log }_{10}25}\ge \frac{3{\log }_{10}x}{2{\log }_{10}5}$$

Шаг 4: Сокращение дробей.
Обратим внимание, что у нас есть общий член в числителе и знаменателе. Упростим неравенство путем сокращения дробей:
$$x^2\cdot \frac{1}{{\log }_{10}25}\ge \frac{3}{2{\log }_{10}5}$$

Шаг 5: Приведение к общему знаменателю.
Умножим оба выражения на ${\log }_{10}25\cdot 2{\log }_{10}5$ для приведения к общему знаменателю:
$$x^2\cdot \frac{2{\log }_{10}5}{2{\log }_{10}5\cdot {\log }_{10}25}\ge \frac{3\cdot {\log }_{10}25}{2{\log }_{10}5\cdot {\log }_{10}25}$$

Шаг 6: Упрощение.
Сократим некоторые дроби:
$$x^2\cdot \frac{{\log }_{10}5}{{\log }_{10}({25}^2)}\ge \frac{3\cdot {\log }_{10}25}{2\cdot {\log }_{10}5\cdot {\log }_{10}25}$$

Шаг 7: Применение правила степени.
Упростим логарифмы с помощью правила степени:
$$x^2\cdot \frac{{\log }_{10}5}{2{\log }_{10}5\cdot 2{\log }_{10}5}\ge \frac{3\cdot 2{\log }_{10}5}{2\cdot {\log }_{10}5\cdot 2{\log }_{10}5}$$

Шаг 8: Упрощение.
Сократим некоторые выражения:
$$x^2\cdot \frac{1}{4{\log }_{10}5}\ge \frac{3}{4}$$

Шаг 9: Умножение обеих сторон неравенства.
Умножим обе стороны на $4{\log }_{10}5$ для избавления от знаменателя:
$$x^2\ge 3\cdot 4{\log }_{10}5$$

Шаг 10: Упрощение.
Вычислим значение выражения справа:
$$x^2\ge 12{\log }_{10}5$$

Таким образом, получаем, что исходное неравенство $x^2{\log }_{25}x\ge {\log }_{25}{x}^3+x{\log }_{25}$ эквивалентно $x^2\ge 12{\log }_{10}5$.