Is the inequality x^2*log 25 x > = log 25 x^3 + x*log correct?

Чтобы проверить правильность неравенства \(x^2 \log_{25} x \geq \log_{25} x^3 + x \log_{25}\), нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Приведение неравенства к общему основанию логарифма.
Для начала преобразуем оба логарифма к общему основанию, выберем основание \(10\):
\[x^2 \log_{25} x \geq \frac{\log_{10} x^3}{\log_{10} 25} + x \log_{25} 1\]

Шаг 2: Применение свойств логарифмов.
Используем несколько свойств логарифмов:
- Правило суммы: \(\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\)
- Правило степени: \(\log_a (b^k) = k \cdot \log_a b\)
- Логарифм единицы: \(\log_a 1 = 0\)
- Правило деления: \(\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c\)

Разложим сумму в числителе и заменим некоторые значения в формуле:
\[x^2 \log_{25} x \geq \frac{3\log_{10} x}{2\log_{10} 5} + 0\]

Шаг 3: Приведение логарифмов к десятичному основанию.
Поскольку мы заменили основание логарифма на 10, преобразуем оставшиеся логарифмы в десятичные логарифмы. Для этого воспользуемся формулой изменения основания:
\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]

Применим эту формулу к исходному неравенству:
\[x^2 \cdot \frac{\log_{10} x}{\log_{10} 25} \geq \frac{3\log_{10} x}{2\log_{10} 5}\]

Шаг 4: Сокращение дробей.
Обратим внимание, что у нас есть общий член в числителе и знаменателе. Упростим неравенство путем сокращения дробей:
\[x^2 \cdot \frac{1}{\log_{10} 25} \geq \frac{3}{2\log_{10} 5}\]

Шаг 5: Приведение к общему знаменателю.
Умножим оба выражения на \(\log_{10} 25\cdot 2\log_{10} 5\) для приведения к общему знаменателю:
\[x^2 \cdot \frac{2\log_{10} 5}{2\log_{10} 5 \cdot \log_{10} 25} \geq \frac{3 \cdot\log_{10} 25}{2\log_{10} 5 \cdot \log_{10} 25}\]

Шаг 6: Упрощение.
Сократим некоторые дроби:
\[x^2 \cdot \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} (25^2)} \geq \frac{3 \cdot \log_{10} 25}{2 \cdot \log_{10} 5 \cdot \log_{10} 25}\]

Шаг 7: Применение правила степени.
Упростим логарифмы с помощью правила степени:
\[x^2 \cdot \frac{\log_{10} 5}{2 \log_{10} 5 \cdot 2 \log_{10} 5} \geq \frac{3 \cdot 2 \log_{10} 5}{2 \cdot \log_{10} 5 \cdot 2 \log_{10} 5}\]

Шаг 8: Упрощение.
Сократим некоторые выражения:
\[x^2 \cdot \frac{1}{4 \log_{10} 5} \geq \frac{3}{4}\]

Шаг 9: Умножение обеих сторон неравенства.
Умножим обе стороны на \(4 \log_{10} 5\) для избавления от знаменателя:
\[x^2 \geq 3 \cdot 4 \log_{10} 5\]

Шаг 10: Упрощение.
Вычислим значение выражения справа:
\[x^2 \geq 12 \log_{10} 5\]

Таким образом, получаем, что исходное неравенство \(x^2 \log_{25} x \geq \log_{25} x^3 + x \log_{25}\) эквивалентно \(x^2 \geq 12 \log_{10} 5\).