Имеются точки a(4 ; -5), b(-8 ; -6), c(5 ; 9). Необходимо найти: а) координаты вектора ac; б) длину вектора

Давайте начнем с задачи:

а) Чтобы найти координаты вектора \(\overrightarrow{ac}\), нужно вычислить разность координат точек \(c\) и \(a\).

Координаты вектора \(\overrightarrow{ac}\) можно найти, вычтя соответствующие координаты точки \(a\) из координат точки \(c\):

\[\overrightarrow{ac} = (c_x - a_x, c_y - a_y)\]

Подставляя значения координат точек \(a\) и \(c\), получим:

\[\overrightarrow{ac} = (5 - 4, 9 - (-5)) = (1, 14)\]

Таким образом, координаты вектора \(\overrightarrow{ac}\) равны (1, 14).

б) Чтобы найти длину вектора \(\overrightarrow{bc}\), можно использовать формулу расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

где \(d\) - длина вектора, \(x_1, y_1\) - координаты точки \(b\), \(x_2, y_2\) - координаты точки \(c\).

Подставляя значения координат точек \(b\) и \(c\), получим:

\[d = \sqrt{(-8 - 5)^2 + (-6 - 9)^2} = \sqrt{(-13)^2 + (-15)^2} = \sqrt{169 + 225} = \sqrt{394}\]

Длина вектора \(\overrightarrow{bc}\) равна \(\sqrt{394}\).

в) Чтобы найти координаты середины отрезка \(ab\), нужно вычислить среднее арифметическое соответствующих координат точек \(a\) и \(b\):

\[x_m = \frac{{x_a + x_b}}{2}, \quad y_m = \frac{{y_a + y_b}}{2}\]

Подставляя значения координат точек \(a\) и \(b\), получим:

\[x_m = \frac{{4 + (-8)}}{2} = \frac{{-4}}{2} = -2, \quad y_m = \frac{{-5 + (-6)}}{2} = \frac{{-11}}{2} = -5.5\]

Таким образом, координаты середины отрезка \(ab\) равны \((-2, -5.5)\).

г) Чтобы найти периметр треугольника \(abc\), нужно вычислить сумму длин всех его сторон. В данном случае у нас есть три стороны: \(ab\), \(bc\) и \(ca\).

Длина стороны \(ab\) уже была найдена в предыдущем пункте и равна \(\sqrt{394}\).

Длина стороны \(bc\) также равна \(\sqrt{394}\), так как это длина вектора \(\overrightarrow{bc}\), которую мы уже нашли.

Длина стороны \(ca\) можно найти, используя формулу расстояния между точками \(c\) и \(a\):

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставляя значения координат точек \(c\) и \(a\), получим:

\[d = \sqrt{(5 - 4)^2 + (9 - (-5))^2} = \sqrt{1^2 + 14^2} = \sqrt{1 + 196} = \sqrt{197}\]

Таким образом, длина стороны \(ca\) равна \(\sqrt{197}\).

Теперь, чтобы найти периметр треугольника \(abc\), нужно сложить длины всех его сторон:

\[P = ab + bc + ca = \sqrt{394} + \sqrt{394} + \sqrt{197} = 2\sqrt{394} + \sqrt{197}\]

Итак, периметр треугольника \(abc\) равен \(2\sqrt{394} + \sqrt{197}\).

д) Чтобы найти длину медианы треугольника \(abc\), нужно использовать формулу для длины медианы, связанной с координатами вершин треугольника:

\[m = \frac{1}{2}\sqrt{2c^2 + 2a^2 - b^2}\]

где \(m\) - длина медианы, \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

Мы уже нашли длины сторон треугольника \(abc\) в предыдущем пункте:

\(ab = \sqrt{394}\), \(bc = \sqrt{394}\), \(ca = \sqrt{197}\)

Подставляя эти значения в формулу, получим:

\[m = \frac{1}{2}\sqrt{2(\sqrt{197})^2 + 2(\sqrt{394})^2 - (\sqrt{394})^2}\]

Упрощая выражение, получим:

\[m = \frac{1}{2}\sqrt{394 + 788 - 394} = \frac{1}{2}\sqrt{788}\]

Таким образом, длина медианы треугольника \(abc\) равна \(\frac{1}{2}\sqrt{788}\).

Это подробное решение задачи. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.