How many glass decorative balls are there in total if it is known that there are fewer than 100 and, when divided into

How many glass decorative balls are there in total if it is known that there are fewer than 100 and, when divided into packets of 8, there are 7 balls remaining, when divided into packets of 7, there are 6 balls remaining, and when divided into packets of 4, there are 3 balls remaining?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Eva

Eva

Давайте найдем число стеклянных декоративных шариков, используя данную информацию. Нам известно, что при делении на 8 получается остаток 7, при делении на 7 получается остаток 6, а при делении на 4 - остаток 3.

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться методом китайской теоремы об остатках, который позволяет найти общее решение для системы сравнений. Этот метод основывается на том, что если у нас есть несколько сравнений, то существует число, дающее остаток, соответствующий каждому из сравнений.

Давайте разложим условия задачи на систему уравнений:

x7(mod8)
x6(mod7)
x3(mod4)

Применим китайскую теорему об остатках для решения этой системы. Сначала найдем общий модуль N, который равен произведению модулей: N=874=224.

Теперь найдем N1, равное N деленное на первый модуль: N1=2248=28.

Далее найдем мультипликативную инверсию N1 по модулю первого модуля, то есть число y1, такое что y1N11(mod8). В данном случае число 7 является такой инверсией: 7281(mod8).

Повторим аналогичные шаги для второго и третьего модулей. Найдем:

N2=2247=32, y2=5,
N3=2244=56, y3=14.

Теперь можем найти искомое число x, используя формулу:

x=(7728+6532+31456)mod224

Вычислим это выражение:

x=(1372+960+2352)mod224=4684mod224=100

Итак, получаем, что общее количество стеклянных декоративных шариков равно 100.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello