How many glass decorative balls are there in total if it is known that there are fewer than 100 and, when divided into

Давайте найдем число стеклянных декоративных шариков, используя данную информацию. Нам известно, что при делении на 8 получается остаток 7, при делении на 7 получается остаток 6, а при делении на 4 - остаток 3.

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться методом китайской теоремы об остатках, который позволяет найти общее решение для системы сравнений. Этот метод основывается на том, что если у нас есть несколько сравнений, то существует число, дающее остаток, соответствующий каждому из сравнений.

Давайте разложим условия задачи на систему уравнений:

\[x \equiv 7 \pmod{8}\]
\[x \equiv 6 \pmod{7}\]
\[x \equiv 3 \pmod{4}\]

Применим китайскую теорему об остатках для решения этой системы. Сначала найдем общий модуль \(N\), который равен произведению модулей: \(N = 8 \cdot 7 \cdot 4 = 224\).

Теперь найдем \(N_1\), равное \(N\) деленное на первый модуль: \(N_1 = \frac{224}{8} = 28\).

Далее найдем мультипликативную инверсию \(N_1\) по модулю первого модуля, то есть число \(y_1\), такое что \(y_1 \cdot N_1 \equiv 1 \pmod{8}\). В данном случае число 7 является такой инверсией: \(7 \cdot 28 \equiv 1 \pmod{8}\).

Повторим аналогичные шаги для второго и третьего модулей. Найдем:

\(N_2 = \frac{224}{7} = 32\), \(y_2 = 5\),
\(N_3 = \frac{224}{4} = 56\), \(y_3 = 14\).

Теперь можем найти искомое число \(x\), используя формулу:

\[x = (7 \cdot 7 \cdot 28 + 6 \cdot 5 \cdot 32 + 3 \cdot 14 \cdot 56) \mod 224\]

Вычислим это выражение:

\[x = (1372 + 960 + 2352) \mod 224 = 4684 \mod 224 = 100 \]

Итак, получаем, что общее количество стеклянных декоративных шариков равно 100.