How many five-ruble coins could have been in the wallet, if Lena bought only an album for 96 rubles, using

У нас есть задача, в которой Лена купила альбом стоимостью 96 рублей, используя все монеты из своего кошелька. Известно, что в кошельке было n монет, каждая из которых может иметь номинал 2, 5 или 10 рублей. Лена оплачивала каждую покупку отдельно, без сдачи, только этими монетами. Нам нужно найти, сколько пятирублевых монет могло быть в кошельке.

Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Напишем уравнение, используя информацию из задачи. Общая стоимость покупок Лены равна 96 рублей.

\[
2x + 5y + 10z = 96
\]

где \(x\) - количество двухрублевых монет, \(y\) - количество пятирублевых монет, \(z\) - количество десятирублевых монет.

Шаг 2: Введем ограничение, связанное с количеством монет в кошельке. Известно, что в кошельке было \(n\) монет.

\[
x + y + z = n
\]

Шаг 3: Решим эту систему уравнений, используя метод замещения или метод сложения.

У нас два уравнения:

\[
\begin{align*}
2x + 5y + 10z &= 96 \\
x + y + z &= n
\end{align*}
\]

Можем выразить одну переменную через другую, например, выразим \(x\) через \(y\) и \(z\) из уравнения \(x + y + z = n\):

\[
x = n - y - z
\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[
2(n - y - z) + 5y + 10z = 96
\]

Упростим уравнение:

\[
2n - 2y - 2z + 5y + 10z = 96
\]

\[
2n + 3y + 8z = 96
\]

Шаг 4: Теперь у нас есть одна переменная вместо двух. Перепишем уравнение с одной переменной:

\[
3y + 8z = 96 - 2n
\]

Шаг 5: Ограничения по условию задачи: каждая переменная не может быть отрицательной или превышать заданный диапазон номиналов монет (2, 5 и 10 рублей).

\[
\begin{align*}
x \geq 0 \\
y \geq 0 \\
z \geq 0 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
2 \leq x \leq 10 \\
0 \leq y \leq 10 \\
0 \leq z \leq 10 \\
\end{align*}
\]

Шаг 6: Теперь мы можем попробовать различные значения для переменных \(y\) и \(z\) в заданном диапазоне и вычислить соответствующее значение для \(x\). Если полученные значения переменных удовлетворяют всем условиям, то это допустимое решение. Если не получается найти такие значения, то будем считать задачу не имеющей решения.

Шаг 7: Проверим различные значения \(y\) и \(z\) в диапазоне от 0 до 10 и посчитаем соответствующее значение \(x\). Проверим, удовлетворяют ли эти значения условию из ограничений:

\[
2y + 5z = 96 - 2n
\]

и условию ограничений по номиналам монет.

Пример: Пусть \(n = 10\). Проверим значения для \(y\) и \(z\) от 0 до 10:

\[
\begin{align*}
y = 0, z = 6 & : 2 \cdot 0 + 5 \cdot 6 = 30 \neq 96 - 2 \cdot 10 \\
y = 1, z = 6 & : 2 \cdot 1 + 5 \cdot 6 = 32 \neq 96 - 2 \cdot 10 \\
y = 2, z = 6 & : 2 \cdot 2 + 5 \cdot 6 = 34 \neq 96 - 2 \cdot 10 \\
... \\
y = 9, z = 4 & : 2 \cdot 9 + 5 \cdot 4 = 46 \neq 96 - 2 \cdot 10 \\
y = 10, z = 4 & : 2 \cdot 10 + 5 \cdot 4 = 48 \neq 96 - 2 \cdot 10 \\
\end{align*}
\]

Мы проверили все возможные значения \(y\) и \(z\) и не нашли такие, которые удовлетворяют условию.

Таким образом, с учетом данных условий задачи, нет никаких решений для количества пятирублевых монет в кошельке Лены.