How can the expression tg3a/tg^2 3a-1 * 1-ctg^2 3a/ctg3a be simplified?

Для упрощения данного выражения нам потребуется использовать некоторые свойства тригонометрических функций. Давайте пошагово проанализируем задачу.

Шаг 1: Разложение тангенса и котангенса

Исходное выражение содержит тангенс и котангенс функции, которые можно выразить через синус и косинус. Воспользуемся следующими тождествами:

\[\text{tg}(x) = \dfrac{\text{sin}(x)}{\text{cos}(x)}\]
\[\text{ctg}(x) = \dfrac{\text{cos}(x)}{\text{sin}(x)}\]

Шаг 2: Замена функций

Заменим тангенс и котангенс исходного выражения используя указанные тождества:

\[\dfrac{\text{tg}(3a)}{\text{tg}^2(3a-1)} \cdot (1-\dfrac{1}{\text{ctg}^2(3a)})\]

После применения тождеств получаем следующее выражение:

\[\dfrac{\dfrac{\text{sin}(3a)}{\text{cos}(3a)}}{\left(\dfrac{\text{sin}(3a-1)}{\text{cos}(3a-1)}\right)^2} \cdot \left(1-\dfrac{1}{\dfrac{\text{cos}(3a)}{\text{sin}(3a)}}\right)\]

Шаг 3: Упрощение

Для упрощения данного выражения, давайте проделаем следующие шаги:

- В числителе и знаменателе дробей воспользуемся свойством деления дробей: домножим числитель на знаменатель другой и знаменатель на знаменатель другой дроби:

\[\dfrac{\text{sin}(3a) \cdot \text{cos}(3a-1)}{\text{cos}(3a) \cdot \text{sin}(3a-1)} \cdot (1-\dfrac{\text{sin}(3a)}{\text{cos}(3a)})\]

- Сократим подобные члены, т.е. сократим дробь \(\dfrac{\text{sin}(3a) \cdot \text{cos}(3a-1)}{\text{cos}(3a) \cdot \text{sin}(3a-1)}\):

\[1 \cdot (1-\dfrac{\text{sin}(3a)}{\text{cos}(3a)})\]

- В знаменателе дроби \(\dfrac{\text{sin}(3a)}{\text{cos}(3a)}\) воспользуемся тождеством деления дробей:

\[1 \cdot (1-\text{tg}(3a))\]

Таким образом, итоговое упрощенное выражение будет выглядеть следующим образом:

\[1 - \text{tg}(3a)\]

Это и есть упрощенный ответ на задачу.