Продемонстрируйте сходимость данного ряда и определите его сумму: 1/(n+5)(n+6

Для начала определим, что такое сходимость ряда. Ряд сходится, если сумма всех его членов конечна. Для данного ряда 1/((n+5)(n+6)) мы сможем проверить его сходимость, используя тест сравнения.

Шаг 1: Подставим несколько значений для n, чтобы увидеть, как меняются члены ряда:

При n = 1: 1/((1+5)(1+6)) = 1/((6)(7)) = 1/42
При n = 2: 1/((2+5)(2+6)) = 1/((7)(8)) = 1/56
При n = 3: 1/((3+5)(3+6)) = 1/((8)(9)) = 1/72

Как видно из вычислений, значения членов ряда уменьшаются, поэтому есть основание предположить, что ряд может сходиться.

Шаг 2: Применим тест сравнения. Для этого нам потребуется выбрать другой сходящийся ряд, с которым мы сможем сравнить данный ряд.

Рассмотрим ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\). Этот ряд является сходящимся рядом.

Теперь сравним значения членов данного ряда и ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\):

\(\frac{1}{(n+5)(n+6)} < \frac{1}{n^2}\).

Мы знаем, что ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) сходится. Полагаясь на тест сравнения, должно быть ясно, что данный ряд тоже сходится.

Шаг 3: Определим значение суммы данного ряда. Для этого воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии:

Сумма данного ряда равна сумме ряда вида \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\).

Формула для суммы такого ряда сходится:

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

Таким образом, сумма данного ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+5)(n+6)}\) равна \(\frac{\pi^2}{6}\).

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как были получены результаты и какие методы использовались для демонстрации сходимости и определения суммы данного ряда.