Given the coordinates of the vertices of a triangular pyramid: A(2; 6; 12), B(4; 4; 2), C(-2; 0; 2), D(-8;-12;-6

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать метод координат. Давайте последовательно решим каждую часть задачи.

a) Для нахождения косинуса угла φ между векторами →AB и →AD, нам необходимо вычислить скалярное произведение данных векторов и поделить его на произведение их длин. Давайте сначала найдем векторы →AB и →AD.

Вектор AB можно получить путем вычитания координат точки A из координат точки B:

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\]

\[\overrightarrow{AB} = (4 - 2, 4 - 6, 2 - 12) = (2, -2, -10)\]

Аналогично, для нахождения вектора AD, вычтем координаты точки A из координат точки D:

\[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}\]

\[\overrightarrow{AD} = (-8 - 2, -12 - 6, -6 - 12) = (-10, -18, -18)\]

Теперь у нас есть векторы →AB = (2, -2, -10) и →AD = (-10, -18, -18). Мы можем найти косинус угла φ, используя формулу:

\[\cos(\phi) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AD}\|}\]

где \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}\) - скалярное произведение векторов, а \(\|\overrightarrow{AB}\|\) и \(\|\overrightarrow{AD}\|\) - длины векторов.

Вычислим значения:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 2 \cdot -10 + (-2) \cdot (-18) + (-10) \cdot (-18) = 20 + 36 + 180 = 236\]

\[\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 4 + 100} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\]

\[\|\overrightarrow{AD}\| = \sqrt{(-10)^2 + (-18)^2 + (-18)^2} = \sqrt{100 + 324 + 324} = \sqrt{748} = 2\sqrt{187}\]

Подставим значения в формулу косинуса:

\[\cos(\phi) = \frac{236}{6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{187}} = \frac{236}{12\sqrt{561}} = \frac{59}{3\sqrt{561}}\]

Таким образом, косинус угла φ между векторами →AB и →AD равен \(\frac{59}{3\sqrt{561}}\).

b) Чтобы найти уравнение плоскости, содержащей грань BCD данной пирамиды, мы можем использовать уравнение плоскости в точке и нормальную векторную формулу.

Для начала нам нужно найти нормальный вектор плоскости. Для этого мы можем использовать векторное произведение двух векторов, лежащих на плоскости – →BD и →BC.

Вектор BD можно получить путем вычитания координат точки B из координат точки D:

\[\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}\]

\[\overrightarrow{BD} = (-8 - 4, -12 - 4, -6 - 2) = (-12, -16, -8)\]

Аналогично, вектор BC можно получить путем вычитания координат точки B из координат точки C:

\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}\]

\[\overrightarrow{BC} = (-2 - 4, 0 - 4, 2 - 2) = (-6, -4, 0)\]

Теперь у нас есть векторы →BD = (-12, -16, -8) и →BC = (-6, -4, 0). Мы можем найти нормальный вектор плоскости, выполнив векторное произведение этих двух векторов:

\[\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BC}\]

\[\overrightarrow{n} = (-12, -16, -8) \times (-6, -4, 0)\]

Вычислим векторное произведение:

\[\overrightarrow{n} = ((-16 \cdot 0) - (-4 \cdot (-8)), (-8 \cdot 0) - (-6 \cdot (-8)), (-6 \cdot (-4)) - (-12 \cdot (-8)))\]

\[\overrightarrow{n} = (32, -48, -24)\]

Теперь, когда у нас есть нормальный вектор плоскости, мы можем записать уравнение плоскости в точке B, используя формулу:

\[Ax + By + Cz = D\]

где A, B и C - координаты нормального вектора плоскости, а D - выражение, равное скалярному произведению нормального вектора и точки на плоскости (в нашем случае точка B).

Подставим значения:

\[32x - 48y - 24z = 32 \cdot 4 - 48 \cdot 4 - 24 \cdot 2\]

\[32x - 48y - 24z = -128 - 192 - 48\]

\[32x - 48y - 24z = -368\]

Таким образом, уравнение плоскости, содержащей грань BCD данной пирамиды, равно \(32x - 48y - 24z = -368\).

c) Чтобы найти синус угла между ребром AB и плоскостью, содержащей грань BCD, нам понадобится найти векторное произведение вектора, параллельного ребру AB, и нормального вектора плоскости.

Вектор AB, который параллелен ребру AB, мы уже нашли в пункте a): \(\overrightarrow{AB} = (2, -2, -10)\).

Нормальный вектор плоскости мы нашли в пункте b): \(\overrightarrow{n} = (32, -48, -24)\).

Теперь мы можем вычислить векторное произведение этих двух векторов:

\[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{n}\]

\[(2, -2, -10) \times (32, -48, -24)\]

Вычислим векторное произведение:

\[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{n} = (-2 \cdot (-24) - (-10) \cdot (-48), (-10) \cdot 32 - 2 \cdot (-24), 2 \cdot (-48) - (-2) \cdot 32)\]

\[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{n} = (240 - 480, -320 + 48, -96 + 64)\]

\[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{n} = (-240, -272, -32)\]

После вычисления векторного произведения, мы получили вектор, перпендикулярный ребру AB и плоскости BCD.

Справедливо следующее состояние:

\(\sin(\alpha) = \frac{{\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{n}\|}}{{\|\overrightarrow{AB}\|}}\),

где \(\alpha\) - угол между ребром AB и плоскостью BCD.

Теперь, чтобы найти синус угла, просто подставим значения в формулу:

\[\sin(\alpha) = \frac{{\|(-240, -272, -32)\|}}{{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-10)^2}}}\]

\[\sin(\alpha) = \frac{{\sqrt{(-240)^2 + (-272)^2 + (-32)^2}}}{{\sqrt{4 + 4 + 100}}}\]

\[\sin(\alpha) = \frac{{\sqrt{115804 + 73984 + 1024}}}{{\sqrt{108}}}\]

\[\sin(\alpha) = \frac{{\sqrt{189812}}}{{6\sqrt{3}}}\]

\[\sin(\alpha) = \frac{{2\sqrt{47303}}}{{6\sqrt{3}}}\]

\[\sin(\alpha) = \frac{{\sqrt{47303}}}{{3\sqrt{3}}}\]

Таким образом, синус угла между ребром AB и плоскостью, содержащей грань BCD, равен \(\frac{{\sqrt{47303}}}{{3\sqrt{3}}}\).