Где на числовой окружности находится точка, соответствующая следующим числам, и каковы ее декартовы координаты? а) 3п/2

Чтобы определить местоположение точки на числовой окружности, соответствующей заданным числам, и найти ее декартовы координаты, необходимо использовать знания о тригонометрии и геометрии.

а) Для числа \(3\pi/2\) на числовой окружности угол нужно измерить от начальной точки в положительном направлении по часовой стрелке. Чтобы найти декартовы координаты этой точки, мы можем использовать следующие формулы:
\[x = \cos(\theta)\]
\[y = \sin(\theta)\]
где \(\theta\) - угол, измеряемый от положительной оси \(x\).

Для \(3\pi/2\) угол равен \(270^\circ\) или \(-\pi/2\) в радианах. Подставим это значение в формулы:
\[x = \cos(-\pi/2) = 0\]
\[y = \sin(-\pi/2) = -1\]

Таким образом, точка, соответствующая числу \(3\pi/2\), находится на числовой окружности в противоположной стороне от начальной точки на расстоянии \(1\) от центра и имеет декартовы координаты (0, -1).

б) Для числа \(\pi/6\) угол нужно измерить от начальной точки в положительном направлении по часовой стрелке. Измерим угол в радианах. Угол \(\pi/6\) равен \(30^\circ\) в градусах или \(\pi/6\) в радианах.

Вычислим декартовы координаты для этого угла:
\[x = \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[y = \sin(\pi/6) = \frac{1}{2}\]

Таким образом, точка, соответствующая числу \(\pi/6\), находится на числовой окружности в положительном направлении от начальной точки на расстоянии \(0.5\) от центра и имеет декартовы координаты \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\).

в) Для числа \(4\pi/3\) угол нужно измерить от начальной точки в положительном направлении по часовой стрелке. Измерим угол в радианах. Угол \(4\pi/3\) равен \(240^\circ\) в градусах или \(4\pi/3\) в радианах.

Вычислим декартовы координаты для этого угла:
\[x = \cos(4\pi/3) = -\frac{1}{2}\]
\[y = \sin(4\pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, точка, соответствующая числу \(4\pi/3\), находится на числовой окружности в противоположной стороне от начальной точки на расстоянии \(0.5\) от центра и имеет декартовы координаты \(-\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

г) Для числа \(-\pi/3\) угол нужно измерить от начальной точки в отрицательном направлении по часовой стрелке. Измерим угол в радианах. Угол \(-\pi/3\) равен \(-60^\circ\) в градусах или \(-\pi/3\) в радианах.

Вычислим декартовы координаты для этого угла:
\[x = \cos(-\pi/3) = \frac{1}{2}\]
\[y = \sin(-\pi/3) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, точка, соответствующая числу \(-\pi/3\), находится на числовой окружности в отрицательном направлении от начальной точки на расстоянии \(0.5\) от центра и имеет декартовы координаты \(\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).