Find the point on the number circle that corresponds to the given numbers: π/2; -π; π/6; - π/3; 10π/3; -17π/4 Find the Cartesian coordinates of the given point: M(π/6); K(π/4); S(-3π); D(11π/4); R(117π) Calculate: a) 2 cos 60° - tan π/4; b) sin(-420°); c) 2 cos 30°cot 60° - sin π/4 Calculate: a) cos 300°; b) cos 62° cos 28°- sin 62° sin 28°; c) 1/2 sin α – sin(π/3 +α) 5 Calculate: a) cos^2 π/8 – sin^2 π/8; b) 2 cos^2 15°tan 15°; c) 4 sin 7π/12 cos 7π/12 Prove the identity: sin α cos^3 α - cos α sin^3 α = cos(3π/2
Yaponec
Давайте решим задачу по порядку.
1. Найдем точки на окружности чисел, соответствующие заданным значениям:
\( \frac{\pi}{2} \), \( -\pi \), \( \frac{\pi}{6} \), \( -\frac{\pi}{3} \), \( \frac{10\pi}{3} \), \( -\frac{17\pi}{4} \).
Для этого нужно понять, как соотнести значения угла с точкой на окружности чисел. На единичной окружности, угол измеряется в радианах с положительным направлением против часовой стрелки.
Точка, находящаяся на расстоянии \( \theta \) от начала координат будет иметь координаты \( (\cos(\theta), \sin(\theta)) \).
a) \( \frac{\pi}{2} \)
Это соответствует углу в 90 градусов или \( \frac{\pi}{2} \) радиан. Точка A на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) \). Поскольку \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \), а \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \), координаты точки A будут (0, 1).
b) \( -\pi \)
Это соответствует углу в 180 градусов или \( \pi \) радиан. Точка B на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(\pi), \sin(\pi)) \). Поскольку \( \cos(\pi) = -1 \), а \( \sin(\pi) = 0 \), координаты точки B будут (-1, 0).
c) \( \frac{\pi}{6} \)
Это соответствует углу в 30 градусов или \( \frac{\pi}{6} \) радиан. Точка C на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(\frac{\pi}{6}), \sin(\frac{\pi}{6})) \).
Поскольку \( \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), а \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \), координаты точки C будут \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \).
d) \( -\frac{\pi}{3} \)
Это соответствует углу в 60 градусов или \( -\frac{\pi}{3} \) радиан. Точка D на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(-\frac{\pi}{3}), \sin(-\frac{\pi}{3})) \).
Поскольку \( \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \), а \( \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), координаты точки D будут \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).
e) \( \frac{10\pi}{3} \)
Это соответствует углу в 600 градусов или \( \frac{10\pi}{3} \) радиан. Точка E на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(\frac{10\pi}{3}), \sin(\frac{10\pi}{3})) \).
Поскольку \( \cos(\frac{10\pi}{3}) = \frac{1}{2} \), а \( \sin(\frac{10\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), координаты точки E будут \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).
f) \( -\frac{17\pi}{4} \)
Это соответствует углу в 1275 градусов или \( -\frac{17\pi}{4} \) радиан. Точка F на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(-\frac{17\pi}{4}), \sin(-\frac{17\pi}{4})) \).
Поскольку \( \cos(-\frac{17\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), а \( \sin(-\frac{17\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), координаты точки F будут \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \).
Таким образом, координаты точек на окружности чисел будут следующими:
a) A (0, 1)
b) B (-1, 0)
c) C \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \)
d) D \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
e) E \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
f) F \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)
2. Для вычисления декартовых координат точек M, K, S, D, и R, нам нужно знать радиус окружности чисел. Предположим, что радиус окружности чисел равен 1 (единица).
a) M(π/6)
Чтобы найти декартовы координаты точки M(π/6), мы можем использовать формулы \( x = r \cdot \cos(\theta) \) и \( y = r \cdot \sin(\theta) \), где r - радиус окружности чисел, а \( \theta \) - угол.
Используя радиус r = 1 и угол \( \theta = \frac{\pi}{6} \), получим:
\( x = 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( y = 1 \cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \)
Таким образом, декартовы координаты точки M(π/6) будут \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \).
b) K(π/4)
Используя радиус r = 1 и угол \( \theta = \frac{\pi}{4} \), получим:
\( x = 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( y = 1 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Таким образом, декартовы координаты точки K(π/4) будут \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \).
c) S(-3π)
Используя радиус r = 1 и угол \( \theta = -3\pi \), получим:
\( x = 1 \cdot \cos(-3\pi) = 1 \cdot \cos(\pi) = -1 \)
\( y = 1 \cdot \sin(-3\pi) = 1 \cdot \sin(\pi) = 0 \)
Таким образом, декартовы координаты точки S(-3π) будут (-1, 0).
d) D(11π/4)
Используя радиус r = 1 и угол \( \theta = \frac{11\pi}{4} \), получим:
\( x = 1 \cdot \cos(\frac{11\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( y = 1 \cdot \sin(\frac{11\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Таким образом, декартовы координаты точки D(11π/4) будут \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \).
e) R(117π)
Здесь нам не дан угол, поэтому мы не можем найти декартовы координаты точки R только по этому значению.
3. Рассчитаем следующие выражения:
a) \( 2 \cos 60° - \tan \frac{\pi}{4} \)
\( \cos 60° = \frac{1}{2} \)
\( \tan \frac{\pi}{4} = 1 \)
Подставляя значения, получим:
\( 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0 \)
Таким образом, результат выражения равен 0.
b) \( \sin(-420°) \)
Так как синус - периодическая функция, то для аргумента \( -420° \) мы можем использовать эквивалентный аргумент \( -60° \).
\( \sin(-60°) = -\sin(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Таким образом, результат выражения равен \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
c) \( 2 \cos 30° \cot 60° - \sin \frac{\pi}{4} \)
\( \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cot 60° = \frac{1}{\tan 60°} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Подставляя значения, получим:
\( 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Таким образом, результат выражения равен \( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \).
4. Рассчитаем следующие выражения:
a) \( \cos 300° \)
Так как косинус - периодическая функция, то для аргумента \( 300° \) мы можем использовать эквивалентный аргумент \( -60° \).
\( \cos(-60°) = \cos(60°) = \frac{1}{2} \)
Таким образом, результат выражения равен \( \frac{1}{2} \).
b) \( \cos 62° \cos 28° - \sin 62° \sin 28° \)
Для вычисления этого выражения нам понадобятся формулы тригонометрии.
Формула косинусов: \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
Используя эту формулу, мы можем переписать выражение следующим образом:
\( \cos 62° \cos 28° - \sin 62° \sin 28° = \cos (62° - 28°) \)
\( 62° - 28° = 34° \), поэтому выражение можно переписать как:
\( \cos 34° \)
Продолжим вычисления.
\( \cos 34° \approx 0.829 \)
Таким образом, результат выражения приближенно равен 0.829.
c) \( \frac{1}{2} \sin \alpha - \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) \)
Разложим синус суммы углов в этом выражении.
Используем формулу синуса суммы углов: \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
\( \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \sin \frac{\pi}{3} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{3} \sin \alpha \)
Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), а \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
\( \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha \)
Теперь можем переписать исходное выражение:
\( \frac{1}{2} \sin \alpha - \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \)
Видим, что слагаемые синуса сокращаются, и остается:
\( - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \)
Таким образом, результат выражения равен \( - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \).
5. Разберем следующие выражения:
a) \( \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} \)
Используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
В данном случае, \( a = \cos \frac{\pi
1. Найдем точки на окружности чисел, соответствующие заданным значениям:
\( \frac{\pi}{2} \), \( -\pi \), \( \frac{\pi}{6} \), \( -\frac{\pi}{3} \), \( \frac{10\pi}{3} \), \( -\frac{17\pi}{4} \).
Для этого нужно понять, как соотнести значения угла с точкой на окружности чисел. На единичной окружности, угол измеряется в радианах с положительным направлением против часовой стрелки.
Точка, находящаяся на расстоянии \( \theta \) от начала координат будет иметь координаты \( (\cos(\theta), \sin(\theta)) \).
a) \( \frac{\pi}{2} \)
Это соответствует углу в 90 градусов или \( \frac{\pi}{2} \) радиан. Точка A на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(\frac{\pi}{2}), \sin(\frac{\pi}{2})) \). Поскольку \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \), а \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \), координаты точки A будут (0, 1).
b) \( -\pi \)
Это соответствует углу в 180 градусов или \( \pi \) радиан. Точка B на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(\pi), \sin(\pi)) \). Поскольку \( \cos(\pi) = -1 \), а \( \sin(\pi) = 0 \), координаты точки B будут (-1, 0).
c) \( \frac{\pi}{6} \)
Это соответствует углу в 30 градусов или \( \frac{\pi}{6} \) радиан. Точка C на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(\frac{\pi}{6}), \sin(\frac{\pi}{6})) \).
Поскольку \( \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), а \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \), координаты точки C будут \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \).
d) \( -\frac{\pi}{3} \)
Это соответствует углу в 60 градусов или \( -\frac{\pi}{3} \) радиан. Точка D на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(-\frac{\pi}{3}), \sin(-\frac{\pi}{3})) \).
Поскольку \( \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \), а \( \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), координаты точки D будут \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).
e) \( \frac{10\pi}{3} \)
Это соответствует углу в 600 градусов или \( \frac{10\pi}{3} \) радиан. Точка E на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(\frac{10\pi}{3}), \sin(\frac{10\pi}{3})) \).
Поскольку \( \cos(\frac{10\pi}{3}) = \frac{1}{2} \), а \( \sin(\frac{10\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), координаты точки E будут \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).
f) \( -\frac{17\pi}{4} \)
Это соответствует углу в 1275 градусов или \( -\frac{17\pi}{4} \) радиан. Точка F на единичной окружности, которая соответствует этому углу, будет иметь координаты \( (\cos(-\frac{17\pi}{4}), \sin(-\frac{17\pi}{4})) \).
Поскольку \( \cos(-\frac{17\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), а \( \sin(-\frac{17\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), координаты точки F будут \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \).
Таким образом, координаты точек на окружности чисел будут следующими:
a) A (0, 1)
b) B (-1, 0)
c) C \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \)
d) D \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
e) E \( \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)
f) F \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)
2. Для вычисления декартовых координат точек M, K, S, D, и R, нам нужно знать радиус окружности чисел. Предположим, что радиус окружности чисел равен 1 (единица).
a) M(π/6)
Чтобы найти декартовы координаты точки M(π/6), мы можем использовать формулы \( x = r \cdot \cos(\theta) \) и \( y = r \cdot \sin(\theta) \), где r - радиус окружности чисел, а \( \theta \) - угол.
Используя радиус r = 1 и угол \( \theta = \frac{\pi}{6} \), получим:
\( x = 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( y = 1 \cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \)
Таким образом, декартовы координаты точки M(π/6) будут \( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \).
b) K(π/4)
Используя радиус r = 1 и угол \( \theta = \frac{\pi}{4} \), получим:
\( x = 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( y = 1 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Таким образом, декартовы координаты точки K(π/4) будут \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \).
c) S(-3π)
Используя радиус r = 1 и угол \( \theta = -3\pi \), получим:
\( x = 1 \cdot \cos(-3\pi) = 1 \cdot \cos(\pi) = -1 \)
\( y = 1 \cdot \sin(-3\pi) = 1 \cdot \sin(\pi) = 0 \)
Таким образом, декартовы координаты точки S(-3π) будут (-1, 0).
d) D(11π/4)
Используя радиус r = 1 и угол \( \theta = \frac{11\pi}{4} \), получим:
\( x = 1 \cdot \cos(\frac{11\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( y = 1 \cdot \sin(\frac{11\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Таким образом, декартовы координаты точки D(11π/4) будут \( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \).
e) R(117π)
Здесь нам не дан угол, поэтому мы не можем найти декартовы координаты точки R только по этому значению.
3. Рассчитаем следующие выражения:
a) \( 2 \cos 60° - \tan \frac{\pi}{4} \)
\( \cos 60° = \frac{1}{2} \)
\( \tan \frac{\pi}{4} = 1 \)
Подставляя значения, получим:
\( 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0 \)
Таким образом, результат выражения равен 0.
b) \( \sin(-420°) \)
Так как синус - периодическая функция, то для аргумента \( -420° \) мы можем использовать эквивалентный аргумент \( -60° \).
\( \sin(-60°) = -\sin(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Таким образом, результат выражения равен \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
c) \( 2 \cos 30° \cot 60° - \sin \frac{\pi}{4} \)
\( \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cot 60° = \frac{1}{\tan 60°} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Подставляя значения, получим:
\( 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Таким образом, результат выражения равен \( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \).
4. Рассчитаем следующие выражения:
a) \( \cos 300° \)
Так как косинус - периодическая функция, то для аргумента \( 300° \) мы можем использовать эквивалентный аргумент \( -60° \).
\( \cos(-60°) = \cos(60°) = \frac{1}{2} \)
Таким образом, результат выражения равен \( \frac{1}{2} \).
b) \( \cos 62° \cos 28° - \sin 62° \sin 28° \)
Для вычисления этого выражения нам понадобятся формулы тригонометрии.
Формула косинусов: \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
Используя эту формулу, мы можем переписать выражение следующим образом:
\( \cos 62° \cos 28° - \sin 62° \sin 28° = \cos (62° - 28°) \)
\( 62° - 28° = 34° \), поэтому выражение можно переписать как:
\( \cos 34° \)
Продолжим вычисления.
\( \cos 34° \approx 0.829 \)
Таким образом, результат выражения приближенно равен 0.829.
c) \( \frac{1}{2} \sin \alpha - \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) \)
Разложим синус суммы углов в этом выражении.
Используем формулу синуса суммы углов: \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
\( \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \sin \frac{\pi}{3} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{3} \sin \alpha \)
Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), а \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
\( \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha \)
Теперь можем переписать исходное выражение:
\( \frac{1}{2} \sin \alpha - \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \)
Видим, что слагаемые синуса сокращаются, и остается:
\( - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \)
Таким образом, результат выражения равен \( - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \).
5. Разберем следующие выражения:
a) \( \cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} \)
Используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
В данном случае, \( a = \cos \frac{\pi
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
