Это требуется расчитать, на каком расстоянии от вершины конуса находится параллельное основанию сечение, площадь

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть высота конуса обозначена символом \(h\), площадь основания конуса — \(S_{\text{осн}}\), и площадь параллельного основанию сечения — \(S_{\text{сеч}}\).

Мы знаем, что площадь параллельного основанию сечения составляет \(\frac{1}{9}\) от площади основания, то есть:

\[S_{\text{сеч}} = \frac{1}{9} \cdot S_{\text{осн}}\]

Также, мы знаем, что площадь основания конуса равна площади круга, то есть:

\[S_{\text{осн}} = \pi r^2\]

где \(r\) — радиус основания.

Теперь нам нужно найти расстояние от вершины конуса до параллельного основанию сечения. Пусть это расстояние обозначено символом \(d\).

Рассмотрим сечение, проходящее через вершину конуса и параллельное основанию. Это сечение будет плоскостью, перпендикулярной основанию.

Такое сечение создает маленький конус, подобный исходному конусу. Обозначим высоту этого маленького конуса через \(h"\). Тогда отношение высот маленького и большого конусов будет равно отношению расстояний \(d\) и \(h\):

\(\frac{h"}{h} = \frac{d}{h}\)

Также заметим, что площадь сечения маленького конуса будет составлять \(\frac{1}{9}\) от площади основания маленького конуса, поскольку размеры сечений, параллельных основаниям, подобны. То есть:

\[S"_{\text{сеч}} = \frac{1}{9} \cdot S"_{\text{осн}}\]

Так как маленький конус подобен исходному, его площадь основания будет равна площади основания исходного конуса:

\[S"_{\text{осн}} = S_{\text{осн}}\]

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем использовать для нахождения значений \(h"\) и \(d\):

\[
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{h"}{h} = \frac{d}{h} \\
S"_{\text{сеч}} = \frac{1}{9} \cdot S"_{\text{осн}}
\end{array}
\right.
\]

Подставим второе уравнение в первое:

\[
\frac{h"}{h} = \frac{d}{h} = \frac{\frac{1}{9} \cdot S"_{\text{осн}}}{S_{\text{осн}}}
\]

Так как \(S"_{\text{осн}} = S_{\text{осн}}\):

\[
\frac{h"}{h} = \frac{d}{h} = \frac{\frac{1}{9} \cdot S_{\text{осн}}}{S_{\text{осн}}}
\]

Теперь заменим \(S_{\text{осн}}\) на \(\pi r^2\):

\[
\frac{h"}{h} = \frac{d}{h} = \frac{\frac{1}{9} \cdot \pi r^2}{\pi r^2}
\]

Исходя из этого уравнения, мы видим, что отношение высот маленького и большого конусов равно отношению отношения между \(\frac{1}{9}\) и \(\pi r^2\):

\[
\frac{h"}{h} = \frac{d}{h} = \frac{\frac{1}{9}}{\pi r^2}
\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(d\):

\[
d = h \cdot \frac{\frac{1}{9}}{\pi r^2} = \frac{h}{9\pi r^2}
\]

Таким образом, расстояние от вершины конуса до параллельного основанию сечения равно \(\frac{h}{9\pi r^2}\).

Я надеюсь, что данное подробное решение поможет вам лучше понять данную задачу. Если у вас возникнут ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.