Есть группа из 20 туристов. В жеребьевке выбираются 3 людей, которые должны идти в село за продуктами. Каковы шансы

Чтобы найти шансы того, что турист К. будет выбран для похода в магазин, нужно вычислить соотношение числа благоприятных исходов (то есть количество возможных вариантов, где турист К. будет выбран) ко всем возможным исходам (то есть общее количество вариантов выбора 3 людей из группы из 20 туристов).

Для начала найдем количество общих исходов. Мы выбираем 3 человека из группы из 20 туристов. Это можно сделать, воспользовавшись комбинаторной формулой сочетаний. Формула сочетаний записывается как nCr, где n - общее количество элементов, а r - количество элементов, которые нужно выбрать.

В данном случае у нас n = 20 (общее количество туристов в группе), а r = 3 (количество людей, которых нужно выбрать для похода в магазин). Подставляя значения в формулу сочетаний, получаем:

\[
C(20, 3) = \frac{{20!}}{{3! \cdot (20-3)!}}
\]

\[
= \frac{{20!}}{{3! \cdot 17!}}
\]

Теперь вычислим числитель и знаменатель.

Числитель - это факториал 20, обозначается как 20!. Факториал числа равен произведению всех целых чисел от 1 до этого числа. В нашем случае:

\[
20! = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

Знаменатель состоит из двух частей: факториала 3 и факториала (20-3).

\[
3! = 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

\[
(20-3)! = 17!
\]

Теперь мы можем вычислить значение сочетания:

\[
C(20, 3) = \frac{{20!}}{{3! \cdot 17!}} = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 17!}}
\]

\[
= \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}}
\]

\[
= \frac{{6840}}{{6}}
\]

\[
= 1140
\]

Таким образом, общее количество исходов (общее количество вариантов выбора 3 человек из группы из 20 туристов) равно 1140.

Теперь мы должны найти количество благоприятных исходов, то есть количество вариантов, где турист К. будет выбран для похода в магазин. Поскольку мы выбираем 3 людей из группы, и турист К. является членом группы из 20 туристов, шансы выбора туриста К. равны количеству вариантов выбора 2 человек из 19 (за вычетом туриста К.) делить на общее количество исходов.

Таким образом, количество благоприятных исходов равно количество вариантов выбора 2 человек из 19:

\[
C(19, 2) = \frac{{19!}}{{2! \cdot (19-2)!}}
\]

\[
= \frac{{19!}}{{2! \cdot 17!}}
\]

Вычислим числитель и знаменатель:

\[
19! = 19 \cdot 18 \cdot 17!
\]

\[
2! = 2 \cdot 1
\]

\[
(19-2)! = 17!
\]

Теперь можем вычислить значение:

\[
C(19, 2) = \frac{{19!}}{{2! \cdot 17!}} = \frac{{19 \cdot 18 \cdot 17!}}{{2 \cdot 1 \cdot 17!}}
\]

\[
= \frac{{19 \cdot 18}}{{2 \cdot 1}}
\]

\[
= \frac{{342}}{{2}}
\]

\[
= 171
\]

Таким образом, количество благоприятных исходов (количество вариантов выбора 2 человек из 19) равно 171.

Теперь, чтобы найти шансы того, что турист К. будет выбран для похода в магазин, нужно разделить количество благоприятных исходов на общее количество исходов:

\[
\text{Шансы выбора туриста К.} = \frac{{\text{Количество благоприятных исходов}}}{{\text{Общее количество исходов}}} = \frac{{171}}{{1140}}
\]

Упростим это:

\[
\frac{{171}}{{1140}} = \frac{{9}}{{60}}
\]

Таким образом, шансы того, что турист К. будет выбран для похода в магазин, равны \(\frac{{9}}{{60}}\) или, упрощенно, \(\frac{{3}}{{20}}\).