Если xy=6 и x2y+xy2+x+y=63, то каково значение выражения x2+y2(2)?

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать информацию, предоставленную в условии задачи и выразить значение выражения \(x^2 + y^2 \cdot 2\). Давайте пошагово разберемся с этим.

У нас даны два уравнения:
1. \(xy = 6\)
2. \(x^2y + xy^2 + x + y = 63\)

Для начала воспользуемся первым уравнением, чтобы выразить одну переменную через другую. Для этого разделим оба выражения второго уравнения на переменную \(xy\):

\[\frac{x^2y}{xy} + \frac{xy^2}{xy} + \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{63}{xy}\]

Упростим это уравнение:

\[x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{63}{6}\]

Далее преобразуем это уравнение с использованием первого уравнения:

\[x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{63}{6}\]
\[x + y + \frac{1}{xy} = \frac{63}{6}\]
\[x + y + \frac{1}{6} = \frac{63}{6}\]
\[x + y = \frac{62}{6}\]
\[x + y = \frac{31}{3}\]

Теперь нам нужно найти значение \(x^2 + y^2 \cdot 2\). Для этого возводим полученное уравнение \(x + y = \frac{31}{3}\) в квадрат:

\[(x + y)^2 = \left(\frac{31}{3}\right)^2\]
\[x^2 + 2xy + y^2 = \frac{961}{9}\]

Теперь выразим \(x^2 + y^2\) через известные значения:

\[x^2 + y^2 = \frac{961}{9} - 2xy\]

Значение \(xy\) можно найти, используя первое уравнение: \(xy = 6\). Подставим его в формулу:

\[x^2 + y^2 = \frac{961}{9} - 2 \cdot 6\]
\[x^2 + y^2 = \frac{961}{9} - 12\]
\[x^2 + y^2 = \frac{961 - 108}{9}\]
\[x^2 + y^2 = \frac{853}{9}\]

Теперь, найдем значение выражения \(x^2 + y^2 \cdot 2\):

\[x^2 + y^2 \cdot 2 = \frac{853}{9} \cdot 2\]
\[x^2 + y^2 \cdot 2 = \frac{1706}{9}\]

Таким образом, значение выражения \(x^2 + y^2 \cdot 2\) равно \(\frac{1706}{9}\), что является окончательным ответом на задачу.