Если угол при основании правильной треугольной пирамиды составляет 60 градусов, то какова площадь ее боковой

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с определениями и свойствами правильной треугольной пирамиды.

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является равносторонним треугольником, а все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

В задаче говорится, что угол при основании пирамиды составляет 60 градусов. Этот угол является углом при основании равнобедренного треугольника на основанием пирамиды.

Теперь нам нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность пирамиды состоит из равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет высоту равную расстоянию от середины высоты пирамиды до апофемы.

Чтобы вывести формулу для площади боковой поверхности, нам понадобится знать длину стороны основания пирамиды. Давайте обозначим ее через \(s\).

В правильном треугольнике все стороны равны между собой и равны длине стороны основания пирамиды \(s\). К тому же, угол при основании равнобедренного треугольника равен 60 градусам. Зная эти сведения, мы можем найти высоту треугольника с помощью тригонометрической формулы:

\[
\text{{высота}} = s \times \sin(60^\circ) = \frac{s\sqrt{3}}{2}
\]

Расстояние от середины высоты пирамиды до апофемы имеет такую же длину, что и высота треугольника, поэтому:

\[
\text{{расстояние от середины высоты до апофемы}} = \frac{s\sqrt{3}}{2}
\]

Теперь мы можем найти площади каждого равнобедренного треугольника на боковой поверхности пирамиды, где каждая площадь будет равна половине произведения длины основания и соответствующей высоты:

\[
\text{{площадь каждого треугольника}} = \frac{s}{2} \times \frac{s\sqrt{3}}{2}
\]

На качестве стороны основания пирамиды \(s\) домножим и поделим на \(\sqrt{3}\), чтобы сократить дробь:

\[
\text{{площадь каждого треугольника}} = \frac{s}{2} \times \frac{s\sqrt{3}}{2} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{4} s^2\sqrt{3}
\]

Так как пирамида имеет 4 боковые грани, и каждая боковая грань имеет такую же площадь (равную \(\frac{1}{4} s^2\sqrt{3}\)), общая площадь боковой поверхности будет составлять:

\[
\text{{площадь боковой поверхности}} = 4 \times \left(\frac{1}{4} s^2\sqrt{3}\right) = s^2\sqrt{3}
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды будет равна \(s^2\sqrt{3}\), где \(s\) - длина стороны основания пирамиды.