Треугольник frt имеет следующие координаты его вершин: f(2; -2), r(2; 3), t(-2; 1). а) докажите, что треугольник

Хорошо, давайте решим данную задачу.

а) Чтобы доказать, что треугольник \( \triangle \)FRT является равнобедренным, нам нужно проверить, что две его стороны имеют равные длины. Для этого рассчитаем длины всех сторон треугольника:

Сначала найдем длину стороны FR. Используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости, получаем:

\[ FR = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

где \( x_1, y_1 \) - координаты точки F, \( x_2, y_2 \) - координаты точки R.

Подставляя значения координат из условия задачи, получаем:

\[ FR = \sqrt{(2 - 2)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{0 + 25} = 5 \]

Теперь рассчитаем длину стороны FT, используя аналогичную формулу:

\[ FT = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

где \( x_1, y_1 \) - координаты точки F, \( x_2, y_2 \) - координаты точки T.

Подставляем значения координат:

\[ FT = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

Как видно, стороны FR и FT имеют одинаковую длину, равную 5. Это означает, что треугольник \( \triangle \)FRT является равнобедренным, так как две его стороны равны.

б) Чтобы определить длину высоты, проведенной из вершины треугольника, нам необходимо использовать формулу для нахождения высоты треугольника. Формула для высоты, проведенной из вершины треугольника, может быть записана следующим образом:

\[ h = \frac{2A}{b} \]

где \( A \) - площадь треугольника, \( b \) - длина основания треугольника.

Для нахождения площади треугольника, мы можем использовать формулу Герона:

\[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

где \( s \) - полупериметр треугольника, который можно найти по формуле:

\[ s = \frac{a+b+c}{2} \]

где \( a, b, c \) - длины сторон треугольника.

В данном случае, мы уже знаем, что сторона \( FR \) равна 5, так как треугольник \( \triangle \)FRT является равнобедренным. Также, мы можем заметить, что основание треугольника, из которого проведена высота, будет \( FT \), так как оно не равно стороне \( FR \).

Подставляя известные значения для \( a \), \( b \), и \( c \), получаем:

\[ s = \frac{5 + 5 + FT}{2} = \frac{10 + FT}{2} = 5 + \frac{FT}{2} \]

Также, заметим, что площадь треугольника \( A \) равна половине произведения базы и высоты:

\[ A = \frac{1}{2} \cdot FT \cdot h \]

Подставляя в формулу Герона, получаем:

\[ \frac{1}{2} \cdot FT \cdot h = \sqrt{\left(5 + \frac{FT}{2}\right) \left(\frac{FT}{2}\right) \left(5 - \frac{FT}{2}\right) \left(5 - \frac{FT}{2}\right)} \]

После раскрытия скобок и упрощения выражения, получаем:

\[ FT \cdot h = \sqrt{\left(5 + \frac{FT}{2}\right) \left(\frac{FT}{2}\right) \left(5 - \frac{FT}{2}\right) \left(5 - \frac{FT}{2}\right)} \times 2 \]

\[ FT \cdot h = 2 \sqrt{\left(5 + \frac{FT}{2}\right) \left(\frac{FT}{2}\right) \left(5 - \frac{FT}{2}\right) \left(5 - \frac{FT}{2}\right)} \]

\[ h = \frac{2 \sqrt{\left(5 + \frac{FT}{2}\right) \left(\frac{FT}{2}\right) \left(5 - \frac{FT}{2}\right) \left(5 - \frac{FT}{2}\right)}}{FT}\]

Чтобы найти длину высоты, нужно подставить значение длины базы FT:

\[ h = \frac{2 \sqrt{\left(5 + \frac{5}{2}\right) \left(\frac{5}{2}\right) \left(5 - \frac{5}{2}\right) \left(5 - \frac{5}{2}\right)}}{5}\]

\[ h = \frac{2 \sqrt{\left(5 + \frac{10}{2}\right) \left(\frac{10}{2}\right) \left(5 - \frac{10}{2}\right) \left(5 - \frac{10}{2}\right)}}{5}\]

\[ h = \frac{2 \sqrt{(5 + 5) \cdot (5) \cdot (5 - 5) \cdot (5 - 5)}}{5}\]

\[ h = \frac{2 \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 0 \cdot 0}}{5}\]

Так как одно из слагаемых под знаком корня равно 0, то весь корень равен 0:

\[ h = \frac{2 \cdot 0}{5} = 0 \]

Итак, длина высоты, проведенной из вершины треугольника \( \triangle \)FRT, равна 0. Это означает, что высота является дегенерированной, то есть она совпадает с основанием треугольника.