Если угол между образующей конуса и его высотой составляет 60°, то какова площадь боковой поверхности конуса

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые знания о геометрии и формулах для вычисления площади боковой поверхности конуса.

Дано, что угол между образующей конуса и его высотой составляет 60°. Это означает, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 60°.

Рассмотрим этот треугольник. Пусть образующая конуса равна \( l \), а высота равна \( h \). Тогда сторона треугольника, противоположная углу в 60°, будет равна \( \frac{l}{2} \), а высота будет равна \( h \).

С помощью тригонометрических соотношений можно найти длину основания треугольника, равную радиусу конуса \( r \). Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что:

\[
\tan(60^\circ) = \frac{{\frac{l}{2}}}{{h}}
\]

Поэтому:

\[
\frac{l}{2} = h \cdot \tan(60^\circ) = h \cdot \sqrt{3}
\]

Теперь мы можем найти радиус конуса, зная \( l \) и \( h \):

\[
r = \frac{l}{2} = h \cdot \sqrt{3}
\]

И, наконец, формула для вычисления площади боковой поверхности конуса:

\[
S = \pi \cdot r \cdot l
\]

Подставим значение \( r \) в формулу:

\[
S = \pi \cdot (h \cdot \sqrt{3}) \cdot l
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса при заданной высоте равна \( \pi \cdot (h \cdot \sqrt{3}) \cdot l \).

Надеюсь, это решение поможет вам понять, как найти площадь боковой поверхности конуса при заданной высоте. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!