Если точки a, b, c, d лежат на одной прямой в том порядке, и сумма длин всех отрезков с концами в этих точках равна

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать информацию о точках a, b, c и d, а также сумме длин всех отрезков. По условию, точки лежат на одной прямой в порядке a, b, c, d. Обозначим отрезок, длину которого мы хотим найти, как отрезок \( \overline{cd} \).

Дадим каждому отрезку на прямой буквенное обозначение, чтобы было проще оперировать. Пусть \( \overline{ab} = x \), \( \overline{bc} = y \), \( \overline{cd} = z \). Согласно условию, сумма длин всех отрезков равна 10, поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\[ x + y + z = 10 \]

Так как точки a, b, c, d находятся на одной прямой, сумма длин отрезков должна равняться длине всей прямой. Значит, \( x + y + z = \text{длина прямой} \). Но по условию задачи эта сумма равна 10:

\[ x + y + z = 10 \]

Учитывая, что длина отрезка \( \overline{cd} \) равна \( z \), ответом на задачу будет длина отрезка \( \overline{cd} = z \).

Теперь нам нужно выразить длину \( z \) через известные величины. Мы заметили, что сумма длин всех отрезков равна 10, и это включает \( \overline{cd} = z \). Значит, мы можем записать:

\[ x + y + z = 10 \]

Теперь нам нужно использовать дополнительную информацию из условия. Мы знаем, что точки a, b, c и d лежат на одной прямой в порядке a, b, c, d. Это означает, что отрезок \( \overline{ab} \) и отрезок \( \overline{cd} \) составляют всю длину прямой. То есть:

\[ x + z = \text{длина прямой} \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:

\[ \begin{cases}
x + y + z = 10 \\
x + z = \text{длина прямой} \\
\end{cases} \]

Мы хотим найти длину отрезка \( \overline{cd} = z \). Давайте решим эту систему уравнений.

Сначала выразим \( x \) из второго уравнения:

\[ x = \text{длина прямой} - z \]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[ (\text{длина прямой} - z) + y + z = 10 \]

Раскроем скобки:

\[ \text{длина прямой} - z + y + z = 10 \]

Упростим:

\[ \text{длина прямой} + y = 10 \]

Выразим \( y \):

\[ y = 10 - \text{длина прямой} \]

Теперь у нас есть выражение для \( y \) через известные величины. Давайте подставим найденные значения во второе уравнение:

\[ x + z = \text{длина прямой} \]

\[ (\text{длина прямой} - z) + z = \text{длина прямой} \]

\[ \text{длина прямой} - z + z = \text{длина прямой} \]

Упростим:

\[ \text{длина прямой} = \text{длина прямой} \]

Как видим, это тождественное уравнение, которое выполняется для любых значений \( z \). Это означает, что длина отрезка \( \overline{cd} \) может быть любой, так как нам ничего не известно о конкретных значениях в этой задаче.

Таким образом, ответ на задачу - длина отрезка \( \overline{cd} \) может быть любой.