Если сторона правильного шестиугольника равна a, то определите периметр вогнутого многоугольника (гексаграммы

Хорошо, чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, как выглядит вогнутая многоугольник (гексаграмма), образованная короткими диагоналями:

A
/ \
/ \
/ \
B-------C
|\ /|
| \ / |
| X |
| / \ |
|/ \|
D-------E
\ /
F

На рисунке вы можете видеть шестиугольник ABCDEF, где A, B, C, D, E и F - вершины.

Для решения задачи мы должны найти периметр этой гексаграммы.

Периметр - это сумма длин всех сторон многоугольника. Но для начала, нам нужно найти длины всех сторон гексаграммы.

Заметим, что BC, CD, DE, EF, FA и AB - это стороны правильного шестиугольника, каждая из которых равна a, по условию задачи.

Теперь рассмотрим стороны гексаграммы. Они обозначены на рисунке как X.

Мы можем заметить, что X состоит из двух коротких диагоналей. Давайте обозначим эти диагонали как X1 и X2.

Теперь посмотрим на треугольник BCX. Он является равносторонним треугольником, потому что BC = CX и у нас есть еще одна сторона, которая также равна a (потому что это сторона шестиугольника).

Таким образом, мы можем сказать, что треугольник BCX - это равносторонний треугольник, и все его стороны равны a.

Теперь у нас есть равносторонний треугольник, и мы можем найти длину его сторон. Давайте назовем эту длину S.

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике длина стороны равна \(S = \frac {a}{\sqrt{3}}\). Почему? Потому что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов, и мы можем использовать тригонометрию для вычисления длины стороны.

Теперь, когда у нас есть длина стороны BCX, давайте найдем длину стороны X. Поскольку сторона X состоит из двух диагоналей, каждая из которых равна S, то длина стороны X равна \(2S\).

Таким же образом мы можем найти длины сторон гексаграммы, которые состоят из двух диагоналей: CD, DE, EF, FA и AB.

Теперь, когда у нас есть длины всех сторон гексаграммы, мы можем найти периметр, который является суммой длин всех сторон.

Периметр (P) будет равен:
\[P = BC + CD + DE + EF + FA + AB + X\]
\[P = a + 2S + a + 2S + a + 2S + a + 2S + a + 2S + a\]

Мы можем упростить эту формулу, объединив все а:
\[P = 6a + 12S\]

Теперь, чтобы получить окончательный ответ, мы должны вставить значение S, которое мы нашли ранее:
\[P = 6a + 12\left(\frac {a}{\sqrt{3}}\right)\]

Теперь у нас есть формула для нахождения периметра вогнутого многоугольника (гексаграммы), образованной короткими диагоналями, в зависимости от длины стороны шестиугольника (a). Вы можете использовать эту формулу, чтобы найти периметр для любого значения a.