Если площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси и на расстоянии 4 от нее, составляет 36, то какова высота

Хорошо, рассмотрим задачу о высоте цилиндра при известном радиусе его основания.

Пусть \(r\) - радиус цилиндра и \(h\) - его высота.

Мы знаем, что площадь сечения цилиндра, параллельная оси и на расстоянии 4 от неё, составляет 36.

Сначала найдем площадь основания цилиндра. Так как сечение параллельно оси, оно будет кругом, и его площадь можно выразить через радиус: \(S_{\text{осн}} = \pi r^2\).

Теперь найдем площадь сечения. Если оно параллельно оси и на расстоянии 4 от неё, то оно будет кольцом. Формулу площади кольца можно записать следующим образом:
\[S_{\text{кол}} = \pi (R^2 - r^2)\],
где \(R\) - внешний радиус кольца (расстояние от центра сечения до внешней окружности) равен \(r + 4\).

Исходя из условия задачи, площадь сечения равна 36: \(36 = \pi (R^2 - r^2)\).

Заменим \(R\) на \(r + 4\) и получим:
\[36 = \pi ((r+4)^2 - r^2)\].

Раскроем квадрат скобок и упростим уравнение:
\[36 = \pi (r^2 + 8r + 16 - r^2)\].

Сократимся \(r^2\) и перенесем 36 на другую сторону:
\[8\pi r + 16\pi = 36\].

Вычтем 16\(\pi\) из обеих сторон:
\[8\pi r = 36 - 16\pi\].

Теперь разделим обе стороны на 8\(\pi\):
\[r = \frac{36 - 16\pi}{8\pi}\].

Мы нашли значение радиуса основания цилиндра.

Теперь рассмотрим понятие высоты цилиндра. Высота цилиндра - это расстояние между его основаниями. При заданном радиусе только одно возможное значение высоты цилиндра.

Таким образом, ответ задачи: высота цилиндра при данном радиусе будет равна \(h = 4\).

Если есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!