Если площадь боковой поверхности конуса равна и образующая наклонена к основанию под углом 60 градусов, то можно найти

Конус - это трехмерное геометрическое тело, у которого основанием служит круг, а боковая поверхность образует замкнутую кривую линию, соединяющую все точки, лежащие на окружности основания и вершину конуса. Для решения данной задачи, мы располагаем информацией о площади боковой поверхности конуса ($S_b$) и угле между образующей ($l$) и основанием ($r$), то есть у нас есть угол между $l$ и линией, перпендикулярной плоскости основания конуса. Этот угол равен 60 градусов ($\theta ={60}^{\circ }$).

Для того чтобы найти площадь основания ($S_o$), применим формулу для площади боковой поверхности конуса:

$$S_b=\pi rl.$$

Так как нам известно, что $l$ наклонена к основанию под углом 60 градусов, мы можем выразить $l$ через образующую ($h$) и угол ${60}^{\circ }$:

$$l=h\cdot \cos \theta .$$

Заметим, что радиус основания ($r$) и образующая ($h$) образуют прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это образующая ($h$), а одна из сторон - это радиус ($r$). Поэтому, применяя теорему Пифагора, получаем:

$$h=\sqrt{r^2+l^2}.$$

Теперь, подставив полученное значение $l$ в эту формулу, получим:

$$h=\sqrt{r^2+(h\cdot \cos \theta {)}^2}.$$

Квадрат всех слагаемых приведем в более компактную форму:

$$h^2=r^2+h^2\cdot {\cos }^2\theta .$$

Перенесем слагаемое $h^2$ налево и решим уравнение относительно $h^2$:

$$h^2-h^2\cdot {\cos }^2\theta =r^2.$$

Вынесем $h^2$ за скобку:

$$h^2(1-{\cos }^2\theta )=r^2.$$

Так как известно, что ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$, заменим в уравнении и упростим:

$$h^2\cdot {\sin }^2\theta =r^2.$$

Теперь, найдем значение $h^2$:

$$h^2={\displaystyle \frac{r^2}{{\sin }^2\theta }}.$$

Вернемся к формуле для площади боковой поверхности конуса и найдем $S_b$:

$$S_b=\pi r\cdot h\cdot \cos \theta .$$

Теперь мы можем заменить $h$ в этой формуле, используя найденное значение $h^2$:

$$S_b=\pi r\cdot \sqrt{h^2}\cdot \cos \theta .$$

Подставим значение $h^2$:

$$S_b=\pi r\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{r^2}{{\sin }^2\theta }}}\cdot \cos \theta .$$

Упростим выражение, вынесем константы за знак корня:

$$S_b={\displaystyle \frac{\pi r^2}{\sin \theta }}\cdot \sqrt{{\sin }^2\theta }.$$

Теперь заметим, что $\sqrt{{\sin }^2\theta }=|\sin \theta |$, так как $\sin \theta$ - это отрицательное число, ведь угол ${60}^{\circ }$ лежит в четвертой четверти, где синусы отрицательные:

$$S_b={\displaystyle \frac{\pi r^2}{\sin \theta }}\cdot (-\sin \theta )=-\pi r^2.$$

Но площадь не может быть отрицательной, поэтому полученный результат отрицательный бывать не может. Это означает, что для заданных условий, невозможно найти площадь основания конуса.