Если периметр прямоугольника составляет 160 см и отношение соседних сторон не меняется, то какая площадь этого

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо знать формулы для периметра и площади прямоугольника. При периметре \(P\) и сторонах прямоугольника \(a\) и \(b\) формула для вычисления периметра выглядит следующим образом:

\[P = 2a + 2b\]

Площадь же прямоугольника \(S\) вычисляется по формуле:

\[S = a \cdot b\]

В данной задаче нам уже известно, что периметр прямоугольника составляет 160 см. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[2a + 2b = 160\]

Также известно, что отношение соседних сторон остаётся неизменным. Обозначим это отношение как \(k\). Тогда можно записать, что:

\(\frac{a}{b} = k\)

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем решить их систему. Для этого можно использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания.

Давайте решим эту задачу методом подстановки. Из уравнения \(\frac{a}{b} = k\) можно выразить одну переменную через другую:

\(a = k \cdot b\)

Теперь, подставим это значение \(a\) в уравнение для периметра:

\(2(k \cdot b) + 2b = 160\)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(2kb + 2b = 160\)

Далее сгруппируем переменные и вынесем общий множитель:

\((2k + 2)b = 160\)

Разделим обе части уравнения на \(2k + 2\):

\[b = \frac{160}{2k + 2}\]

Таким образом, мы нашли выражение для стороны \(b\) через отношение \(k\). Теперь, чтобы найти выражение для стороны \(a\), мы можем подставить это значение \(b\) обратно в уравнение:

\[a = k \cdot b = k \cdot \frac{160}{2k + 2}\]

Теперь у нас есть выражения для сторон прямоугольника через отношение \(k\), которое остается неизменным. Мы можем использовать эти выражения, чтобы найти площадь прямоугольника \(S = a \cdot b\).

\[S = \left(k \cdot \frac{160}{2k + 2}\right) \cdot \frac{160}{2k + 2}\]

Теперь, если мы умножим числитель и знаменатель дроби на \(2k + 2\), то знаменатель станет равным 1:

\[S = k \cdot 160 \cdot \frac{160}{(2k + 2)(2k + 2)}\]

Мы можем упростить это выражение:

\[S = 160 \cdot \frac{160k}{(2k + 2)(2k + 2)}\]

И получим окончательное выражение для площади прямоугольника. Однако, мы не можем конкретно вычислить площадь, так как у нас нет конкретного значения для отношения \(k\). Если бы у нас было значение для \(k\), мы могли бы подставить его в формулу и вычислить площадь.