Каков объем треугольной пирамиды с прямоугольным основанием, если боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам и получим подробный ответ.

1. Начнем с определения основания пирамиды. В данной задаче основание пирамиды является прямоугольником. Давайте обозначим длину одного из его сторон за \(a\), а длину другой стороны за \(b\). Таким образом, площадь основания пирамиды равна \(S = a \cdot b\).

2. Теперь обратимся к боковым граням пирамиды. У нас дано, что боковое ребро пирамиды образует угол 45 градусов с плоскостью основания. Это означает, что это боковое ребро делит основание пополам.

3. Давайте обозначим длину бокового ребра пирамиды за \(c\). Из свойств прямоугольного треугольника мы можем установить следующее соотношение: \(a = \frac{c}{\sqrt{2}}\) и \(b = \frac{c}{\sqrt{2}}\).

4. Теперь, когда у нас есть значения \(a\) и \(b\), мы можем найти площадь основания пирамиды. Подставим значения в уравнение \(S = a \cdot b\). Получим \(S = \left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right) = \frac{c^2}{2}\).

5. Далее нам дано, что апофема пирамиды (расстояние от вершины до центра основания) равна \(3\sqrt{3}\). Обозначим это расстояние за \(h\).

6. Определим объем пирамиды, используя формулу \(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды.

7. Подставим значения в формулу: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{c^2}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{c^2\sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, объем треугольной пирамиды с прямоугольным основанием, боковое ребро которой образует угол 45 градусов с плоскостью основания, а апофема равна \(3\sqrt{3}\), равен \(\frac{c^2\sqrt{3}}{2}\), где \(c\) - длина бокового ребра пирамиды.