Если отнять значение признака на 7 единиц для каждого элемента выборки объема n, как изменится выборочная дисперсия

Для ответа на этот вопрос давайте разберемся, как изменяется выборочная дисперсия при изменении значений каждого элемента выборки на константу.

Выборочная дисперсия — это мера разброса значений в выборке. Она вычисляется как среднее арифметическое квадратов отклонений каждого элемента выборки от ее среднего значения. Обозначим выборочную дисперсию предварительно отнятой на 7 единиц величины как \(S_1\) и выборочную дисперсию исходной выборки как \(S\).

При отнятии 7 единиц от каждого элемента выборки, новые значения элементов будут равны исходным значениям минус 7. Обозначим такие новые значения как \(x_1\) и исходные значения как \(x\).

Тогда формула для \(S_1\) будет выглядеть следующим образом:

\[S_1 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{1i} - \overline{x_1})^2\]

Где \(x_{1i}\) - новое значение i-го элемента выборки, а \(\overline{x_1}\) - среднее значение новой выборки.

Используя формулу значений новой выборки \(x_1 = x - 7\), можем получить:

\[S_1 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}((x_i - 7) - \overline{x_1})^2\]

Для того, чтобы разобраться, как изменится \(S_1\) относительно \(S\), рассмотрим отдельный элемент суммы:

\((x_i - 7) - \overline{x_1} = (x_i - 7) - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - 7)\)

При раскрытии скобок получим:

\(x_i - 7 - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i + \frac{7}{n}\sum_{i=1}^{n}1\)

Упрощаем:

\(x_i - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)

Таким образом, каждое слагаемое при вычислении суммы \((x_i - \overline{x_1})^2\) в формуле выборочной дисперсии \(S_1\) будет отличаться от аналогичного слагаемого в формуле \(S\) исходной выборочной дисперсии только на константное значение \(\frac{49}{n}\). То есть, каждое слагаемое в формуле \(S_1\) будет больше соответствующего слагаемого в формуле \(S\) на \(\frac{49}{n}\).

Таким образом, сумма \(\sum_{i=1}^{n}(x_{1i} - \overline{x_1})^2\) в формуле \(S_1\) будет больше суммы \(\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2\) в формуле \(S\) на \(n \cdot \frac{49}{n} = 49\).

Поскольку выборочная дисперсия вычисляется, деля сумму на \(n\), то выборочная дисперсия \(S_1\) будет больше выборочной дисперсии \(S\) на \(\frac{49}{n}\).

То есть, правильный ответ на задачу - вариант 3) увеличится на 7 единиц.

Мы рассмотрели подробное пошаговое решение задачи, чтобы показать школьнику логику и обоснование ответа. Надеюсь, это стало понятно и полезно! Если у вас возникнут еще вопросы, я с радостью ответю.