Если один из катетов прямоугольного треугольника равен 4 см, и высота, проведенная из вершины прямого угла, делит

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Пусть \(a\) и \(b\) - катеты треугольника, \(c\) - гипотенуза, \(h\) - высота, и \(x\) - длина второго отрезка гипотенузы, как показано на рисунке.

По условию задачи, один катет равен 4 см и один отрезок гипотенузы равен 6 см.

Так как гипотенуза делится высотой на два отрезка, мы можем записать следующее уравнение:

\[x + 6 = c\]

Также, по теореме Пифагора, мы можем записать:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

При условии, что один катет равен 4 см и гипотенуза делится на два отрезка в пропорции 6: x соответственно, мы можем записать еще одно уравнение:

\(\frac{6}{x} = \frac{c}{a}\)

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить.

Используя первое уравнение, мы можем выразить \(c\) через \(x\):

\[c = x + 6\]

Подставляя это значение \(c\) во второе уравнение, мы получаем:

\[a^2 + b^2 = (x + 6)^2\]

Учитывая, что один катет равен 4 см, мы можем заменить \(a\) на 4:

\[4^2 + b^2 = (x + 6)^2\]

Раскрывая скобки, мы получаем:

\[16 + b^2 = x^2 + 12x + 36\]

Далее, используя третье уравнение, мы можем выразить \(\frac{c}{a}\) через \(x\):

\(\frac{6}{x} = \frac{x + 6}{4}\)

Перемножая крест на крест, мы получаем:

\(4 \cdot 6 = x \cdot (x + 6)\)

Раскрываем скобки:

24 = \(x^2\) + 6x

Теперь у нас есть два уравнения:

\[16 + b^2 = x^2 + 12x + 36\]
\[x^2 + 6x - 24 = 0\]

Мы можем решить второе уравнение с помощью квадратного корня, получив два возможных значения \(x\). Однако, так как \(x\) - длина отрезка гипотенузы, оно не может быть отрицательным, поэтому мы выбираем только положительное значение:

\[x = 2\]

Подставляя это значение x обратно в первое уравнение, мы находим:

\[c = x + 6 = 2 + 6 = 8\]

Таким образом, длина второго катета равна 2 см, а длина гипотенузы равна 8 см.