Если n не делится на 2 или 3, то какие остатки могут быть при делении n³

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Мы знаем, что если число \(n\) не делится на 2 или 3, то оно не является кратным ни 2, ни 3.

Чтобы определить остатки при делении \(n^3\) на \(n\), мы можем использовать свойство остатка от деления: остаток от деления суммы чисел равен сумме остатков от деления этих чисел.

Теперь давайте рассмотрим возможные остатки при делении \(n^3\) на 2:

- Если \(n\) нечетное число, то можно представить его в виде \(n = 2k + 1\), где \(k\) - целое число. В этом случае:

\[n^3 = (2k + 1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1.\]

При делении \(n^3\) на 2, остаток равен остатку от деления 1 на 2, то есть 1. Таким образом, если \(n\) не делится на 2, то остаток \(n^3\) при делении на 2 будет равен 1.

- Если \(n\) четное число, то можно представить его в виде \(n = 2k\), где \(k\) - целое число. В этом случае:

\[n^3 = (2k)^3 = 8k^3.\]

При делении \(n^3\) на 2, остаток равен 0, так как 8 кратно 2. Таким образом, если \(n\) четное число, то остаток \(n^3\) при делении на 2 будет равен 0.

Теперь давайте рассмотрим возможные остатки при делении \(n^3\) на 3:

- Если \(n\) кратно 3, то верно, что \(n = 3k\), где \(k\) - целое число. В этом случае:

\[n^3 = (3k)^3 = 27k^3.\]

При делении \(n^3\) на 3, остаток равен 0, так как 27 кратно 3. Таким образом, если \(n\) кратно 3, то остаток \(n^3\) при делении на 3 будет равен 0.

- Если \(n\) не кратно 3, можно представить его в виде \(n = 3k + 1\) или \(n = 3k + 2\), где \(k\) - целое число. В этом случае:

\[n^3 = (3k + 1)^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1\] (для \(n = 3k + 1\))

\[n^3 = (3k + 2)^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8\] (для \(n = 3k + 2\))

При делении \(n^3\) на 3, остаток будет равен остатку от деления 1 или 8 на 3. Мы можем заметить, что 1 и 8 дают остаток 1 при делении на 3.

Таким образом, если \(n\) не делится на 2 или 3, остатки при делении \(n^3\) на \(n\) могут быть равны 0, 1 или 8.