Если х и у - решения уравнения х²-2х-2=0, найдите значения выражения (х+у)ху

Хоть эта задача и имеет довольно простую формулу, я все равно предоставлю подробное и понятное решение.

Для начала, нам дано уравнение \(x^2 - 2x - 2 = 0\). Мы должны найти значения выражения \((x + y)xy\), где \(x\) и \(y\) являются решениями этого уравнения.

Чтобы найти решения уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где у нас есть уравнение в форме \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -2\) и \(c = -2\). Подставляя это в формулу, получим:

\[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\]

Упрощая это, получим:

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}\]

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}\]

\[x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}\]

Далее, мы можем упростить это ещё больше, разделив каждую дробь на 2:

\[x = 1 \pm \sqrt{3}\]

Таким образом, у нас есть два решения: \(x_1 = 1 + \sqrt{3}\) и \(x_2 = 1 - \sqrt{3}\).

Теперь мы можем найти значения выражения \((x + y)xy\), используя найденные значения \(x_1\) и \(x_2\).

Для \(x_1\):

\[(x_1 + y)x_1y = (1 + \sqrt{3} + y)(1 + \sqrt{3})y = (1 + \sqrt{3})(y + \sqrt{3}y)(1 + \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})y(y + \sqrt{3}y)\]

Упрощая это, получим:

\[(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})y(y + \sqrt{3}y) = (1 + \sqrt{3})^2y(1 + \sqrt{3})y = (1 + \sqrt{3})^3y^2\]

Для \(x_2\), процедура будет аналогична:

\[(x_2 + y)x_2y = (1 - \sqrt{3} + y)(1 - \sqrt{3})y = (1 - \sqrt{3})(y - \sqrt{3}y)(1 - \sqrt{3}) = (1 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})y(y - \sqrt{3}y)\]
\[= (1 - \sqrt{3})^3y^2\]

Таким образом, если \(x_1 = 1 + \sqrt{3}\) и \(x_2 = 1 - \sqrt{3}\) являются решениями уравнения \(x^2 - 2x - 2 = 0\), значения выражения \((x + y)xy\) будут \((1 + \sqrt{3})^3y^2\) и \((1 - \sqrt{3})^3y^2\) соответственно.