Если функция f(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1+x^2)f′(x)=1 и известно, что f(0)=1, то каково значение

Для начала, решим дифференциальное уравнение. Уравнение выглядит следующим образом:

\[(1+x^2)f"(x) = 1.\]

Для решения данного уравнения воспользуемся методом разделения переменных. Для этого перепишем уравнение в следующем виде:

\[\frac{{f"(x)}}{{1}} = \frac{{1}}{{1+x^2}}.\]

Затем интегрируем обе части уравнения:

\[\int f"(x) \, dx = \int \frac{{1}}{{1+x^2}} \, dx.\]

Интеграл слева обозначим как \(\int f"(x) \, dx = f(x) + C\), где \(C\) - константа интегрирования.

Интеграл справа можно найти с помощью замены переменной \(u = 1+x^2\) или с использованием известного интеграла \(\int \frac{{1}}{{u}} \, dx = \ln|u| + C"\). Тогда

\[\int \frac{{1}}{{1+x^2}} \, dx = \int \frac{{1}}{{1+x^2}} \cdot \frac{{2x}}{{2x}} \, dx = \frac{{1}}{{2}} \int \frac{{2x}}{{1+x^2}} \, dx.\]

Оставшуюся интеграцию можно взять с помощью замены переменной \(u = 1+x^2\):

\[\frac{{1}}{{2}} \int \frac{{2x}}{{1+x^2}} \, dx = \frac{{1}}{{2}} \ln|1+x^2| + C"".\]

Теперь вернемся к исходному уравнению:

\[f(x) + C = \frac{{1}}{{2}} \ln|1+x^2| + C"".\]

Необходимо найти функцию \(f(x)\), при этом известно, что \(f(0) = 1\). Подставим \(x = 0\) в уравнение:

\[f(0) + C = \frac{{1}}{{2}} \ln|1+0^2| + C"".\]
\[1 + C = \frac{{1}}{{2}} \ln(1) + C"".\]
\[1 + C = C"".\]

Таким образом, константы \(C\) и \(C""\) равны 1, и получаем:

\[f(x) + 1 = \frac{{1}}{{2}} \ln|1+x^2| + 1.\]
\[f(x) = \frac{{1}}{{2}} \ln|1+x^2|.\]

Теперь, чтобы найти значение \(f(1)\), подставим \(x = 1\) в найденную функцию:

\[f(1) = \frac{{1}}{{2}} \ln|1+1^2| = \frac{{1}}{{2}} \ln|2| = \frac{{1}}{{2}} \ln{2}.\]

Таким образом, значение \(f(1)\) равно \(\frac{{1}}{{2}} \ln{2}\).