Какие уравнения задают касательную к графику функции y=x-3/x+2 в точке с координатами x=-3?

Чтобы определить уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке \(x = -3\). Подставим \(x = -3\) в исходную функцию \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\):
\[y = \frac{{-3 - 3}}{{-3 + 2}} = \frac{{-6}}{{-1}} = 6\]

Таким образом, координаты искомой точки на графике функции равны \((-3, 6)\).

2. Определим производную функции. Производная функции \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\) позволяет найти угловой коэффициент касательной к графику функции и её уравнение. Для вычисления производной выполним дифференцирование по правилам дифференцирования:

\[
\begin{{align*}}
y &= \frac{{x - 3}}{{x + 2}} \\
y" &= \frac{{(x + 2)(1) - (x - 3)(1)}}{{(x + 2)^2}} \\
y" &= \frac{{x + 2 - (x - 3)}}{{(x + 2)^2}} \\
y" &= \frac{{x + 2 - x + 3}}{{(x + 2)^2}} \\
y" &= \frac{{5}}{{(x + 2)^2}}
\end{{align*}}
\]

3. Вычислим значение производной в точке \(x = -3\). Подставим \(x = -3\) в полученное выражение для производной:
\[y" = \frac{{5}}{{(-3 + 2)^2}} = \frac{{5}}{{1}} = 5\]

4. Теперь у нас есть значение производной в заданной точке, которое соответствует угловому коэффициенту касательной. Используя формулу уравнения касательной, получим искомое уравнение:

\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

где \((x_1, y_1)\) - координаты точки, \(m\) - угловой коэффициент касательной. Подставим значения:
\[y - 6 = 5(x + 3)\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[y - 6 = 5x + 15\]
\[y = 5x + 21\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\) в точке с координатами \(x = -3\) равно \(y = 5x + 21\).