Если длины сторон треугольника равны 5, 8 и 6, то какое значение имеет косинус среднего угла этого треугольника?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать известную формулу для вычисления косинуса среднего угла треугольника. Предварительно, вспомним, что для треугольника с длинами сторон \(a\), \(b\) и \(c\), косинус среднего угла вычисляется по следующей формуле:

\[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\]

где \(\alpha\) - средний угол треугольника, а \(s\) - полупериметр треугольника, определяемый формулой:

\[s = \frac{a+b+c}{2}\]

Для данного треугольника с длинами сторон 5, 8 и 6, мы можем начать с вычисления полупериметра:

\[s = \frac{5 + 8 + 6}{2} = \frac{19}{2}\]

Затем мы можем использовать полупериметр и длины сторон для вычисления косинуса среднего угла:

\[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} = \sqrt{\frac{\frac{19}{2}\left(\frac{19}{2}-5\right)}{8\cdot6}} = \sqrt{\frac{\frac{19}{2}\left(\frac{9}{2}\right)}{48}}\]

Теперь давайте вычислим это выражение:

\[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{\frac{19}{2}\cdot\frac{9}{2}}{48}} = \sqrt{\frac{\frac{171}{4}}{48}} = \sqrt{\frac{171}{4\cdot48}} = \sqrt{\frac{171}{192}}\]

Для упрощения этой дроби, мы можем разделить числитель и знаменатель на их общий делитель, который равен 3:

\[\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{\frac{171}{3}}{\frac{192}{3}}} = \sqrt{\frac{57}{64}}\]

Таким образом, косинус среднего угла треугольника с длинами сторон 5, 8 и 6 равен \(\sqrt{\frac{57}{64}}\).

Теперь, чтобы выразить этот ответ в одном из предложенных вариантов, нам нужно упростить дробь под знаком корня. Ответы, представленные в задаче, являются неупрощенными дробями, поэтому ни один из них не равен \(\sqrt{\frac{57}{64}}\).

Существует несколько способов упростить дробь \(\sqrt{\frac{57}{64}}\), но ни одна из возможных упрощений не приводит к результату в виде одного из данного выбора. Таким образом, ни один из предложенных вариантов не является правильным ответом на эту задачу.

Итак, ответ на задачу не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа: 53/80, 43/80, -53/80.