Если длина одной из сторон в равнобедренном треугольнике равна 10, а синус угла при основании составляет 0,8, то какое

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу для площади треугольника. Площадь \(S\) равнобедренного треугольника можно вычислить, используя формулу:

\[S = \frac{{b \cdot h}}{2},\]

где \(b\) - любая из сторон треугольника, а \(h\) - высота, опущенная к основанию.

У нас дано, что длина одной из сторон равна 10. Поскольку треугольник равнобедренный, то обе стороны, исключая основание, также равны 10.

Мы знаем, что синус угла при основании равен 0,8. Синус угла определяется как отношение противоположной катета и гипотенузы прямоугольного треугольника.

Таким образом, мы можем выразить высоту, как

\[h = b \cdot \sin(\theta),\]

где \(b\) - длина основания, а \(\theta\) - угол при основании.

Подставив наши значения в формулу для площади треугольника, получим:

\[S = \frac{{10 \cdot 10 \cdot \sin(\theta)}}{2} = 50 \cdot \sin(\theta).\]

Теперь нам нужно найти максимальное значение площади, которое может иметь этот треугольник.

Поскольку синус аргумента ограничен диапазоном от -1 до 1, чтобы максимизировать площадь, нужно найти угол при основании, при котором синус имеет максимальное значение.

Максимальное значение синуса равно 1, достигается оно при угле 90 градусов или \(\frac{{\pi}}{{2}}\) радиан.

Подставив это значение в формулу для площади:

\[S = 50 \cdot \sin\left(\frac{{\pi}}{{2}}\right) = 50 \cdot 1 = 50.\]

Таким образом, максимальное значение площади равно 50. Ответ: \(\boxed{50}.\)