В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, ромб abcd перпендикулярен плоскости ABC, угол ADC составляет 120°. Прямая

Давайте решим поставленные задачи поочередно.

1. Чтобы найти угол между прямой AC и плоскостью BB1D, нам нужно найти угол между векторами, принадлежащими этим объектам. Для начала, найдем вектор, лежащий на плоскости BB1D.

Заметим, что плоскость BB1D является параллельной плоскости ABCD, так как они имеют общую нормальную вектор. Нормальный вектор к плоскости ABCD можем найти как векторное произведение векторов AB и AD. Запишем их координаты:
\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (0 - 0, 0 - 9 \text{ см}, 0 - 0) = (0, -9, 0)
\]
и
\[
\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = (9 \sqrt{3} - 0, 0 - 9 \text{ см}, 0 - 0) = (9 \sqrt{3}, -9, 0)
\]

Вычислим их векторное произведение:
\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -9 & 0 \\ 9 \sqrt{3} & -9 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 81 \sqrt{3})
\]

Таким образом, нормальный вектор к плоскости BB1D имеет координаты (0, 0, \(81 \sqrt{3}\)).

Поскольку ромб abcd перпендикулярен плоскости ABC, вектор, лежащий на плоскости BB1D, будет перпендикулярен ребру AD. Значит, вектор, лежащий на плоскости BB1D, будет иметь только две ненулевые координаты. Обозначим этот вектор как \(\overrightarrow{v}\). Так как \(\overrightarrow{v}\) перпендикулярен ребру AD, его проекция на Ох и Оу обнуляется, следовательно, его координаты будут (0, -9, 0).

Теперь, чтобы найти угол между прямой AC и плоскостью BB1D, нам нужно найти угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{v}\).

Вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно найти как разность векторов \(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\):
\[
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (0 - 0, -9 - 9 \text{ см}, 0 - 0) = (0, -18, 0)
\]

Найдем теперь скалярное произведение \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{v}\). Косинус угла между векторами можно найти с помощью формулы:
\[
\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{AC}\right| \cdot \left|\overrightarrow{v}\right|}
\]

Расчитаем числитель и знаменатель:
\[
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{v} = (0)(0) + (-18)(-9) + (0)(0) = 162
\]

\[
\left|\overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{0^2 + (-18)^2 + 0^2} = 18
\]

\[
\left|\overrightarrow{v}\right| = \sqrt{0^2 + (-9)^2 + 0^2} = 9
\]

Подставим найденные значения в формулу:
\[
\cos{\theta} = \frac{162}{18 \cdot 9} = \frac{9}{9} = 1
\]

Таким образом, угол между прямой AC и плоскостью BB1D равен 0 градусов.

2. Чтобы найти расстояние от точки C до плоскости BB1D, мы можем воспользоваться формулой расстояния от точки до плоскости:

\[
d = \frac{\left|\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{OC}\right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|}
\]

Мы уже знаем значение вектора \(\overrightarrow{v}\) (0, -9, 0). Чтобы найти вектор \(\overrightarrow{OC}\), вычислим разность векторов \(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{O}\):

\[
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{O} = (0 - 0, -9 - 0, 0 - 0) = (0, -9, 0)
\]

Произведем вычисления:

\[
\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{OC} = (0)(0) + (-9)(-9) + (0)(0) = 81
\]

\[
\left|\overrightarrow{v}\right| = \sqrt{0^2 + (-9)^2 + 0^2} = 9
\]

Подставим найденные значения в формулу:

\[
d = \frac{|81|}{9} = 9 \text{ см}
\]

Таким образом, расстояние от точки C до плоскости BB1D равно 9 см.

3. Чтобы найти угол между прямой C1O и плоскостью ABC, мы можем опять воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами:

\[
\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{C1O} \cdot \overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{C1O}\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}\right|}
\]

Чтобы найти вектор \(\overrightarrow{C1O}\), вычислим разность векторов \(\overrightarrow{O} - \overrightarrow{C1}\):

\[
\overrightarrow{C1O} = \overrightarrow{O} - \overrightarrow{C1} = (0 - 0, 0 - 9 \text{ см}, 0 - 0) = (0, -9, 0)
\]

Вычислим и подставим значения в формулу:

\[
\overrightarrow{C1O} \cdot \overrightarrow{n} = (0)(0) + (-9)(0) + (0)(81 \sqrt{3}) = 0
\]

\[
\left|\overrightarrow{C1O}\right| = \sqrt{0^2 + (-9)^2 + 0^2} = 9
\]

\[
\left|\overrightarrow{n}\right| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (81 \sqrt{3})^2} = 81 \sqrt{3}
\]

\[
\cos{\theta} = \frac{0}{9 \cdot 81 \sqrt{3}} = 0
\]

Таким образом, угол между прямой C1O и плоскостью ABC равен 0 градусов.

Надеюсь, мои объяснения были понятны и подробны. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!