Если дано, что x> 0 и xy=20, то что должно быть минимальным значением выражения x+5y?

Чтобы найти минимальное значение выражения \(x+5y\), мы можем воспользоваться методом подстановки и ограничений, заданных условием задачи. Дано, что \(x > 0\) и \(xy = 20\).

Давайте решим это пошагово:

1. Используя второе условие, \(xy = 20\), мы можем выразить \(y\) через \(x\), разделив обе части уравнения на \(x\):

\[
y = \frac{{20}}{{x}}
\]

2. Теперь мы можем подставить полученное выражение для \(y\) в наше исходное выражение:

\[
x + 5y = x + 5 \left(\frac{{20}}{{x}}\right)
\]

3. Чтобы найти минимальное значение этого выражения, мы можем взять его производную по переменной \(x\) и найти точку, где производная равна нулю.

Давайте найдем производную:

\[
\frac{{d}}{{dx}}(x + 5 \left(\frac{{20}}{{x}}\right))
\]

\[
= 1 + 5 \left(-\frac{{20}}{{x^2}}\right)
\]

4. Теперь нам нужно найти такую точку, где производная равна нулю. Решим уравнение:

\[
1 - \frac{{100}}{{x^2}} = 0
\]

5. Упростим это уравнение:

\[
\frac{{100}}{{x^2}} = 1
\]

\[
100 = x^2
\]

\[
x = \sqrt{{100}}
\]

\[
x = 10
\]

6. Мы нашли, что \(x = 10\). Теперь подставим это значение \(x\) обратно в исходное уравнение:

\[
x + 5y = 10 + 5 \left(\frac{{20}}{{10}}\right)
\]

\[
= 10 + 5 \cdot 2
\]

\[
= 10 + 10
\]

7. И, наконец, минимальное значение выражения \(x + 5y\) будет равно:

\[
20
\]

Таким образом, минимальным значением выражения \(x + 5y\) является 20 при условиях \(x > 0\) и \(xy = 20\).