1) Проверить, является ли функция четной: 1) f(x) = x^2 sin x x^2 - 9 2) Исследовать четность функции: 2) f(x

Хорошо, давайте решим эти задачи по очереди.

1) Проверка функции на четность:
Для того чтобы определить, является ли функция четной, нам необходимо проверить условие \(f(x) = f(-x)\) для всех значения x в области определения функции.

a) Рассмотрим первую функцию: \(f(x) = x^2 \sin(x)\).
Чтобы проверить, является ли эта функция четной, заменим переменную x на -x и вычислим значение функции:

\[f(-x) = (-x)^2 \sin (-x) = x^2 \sin (-x)\]

Мы видим, что \(\sin (-x) = -\sin(x)\). Теперь подставим это значение обратно в исходную функцию:

\[f(-x) = x^2 \sin (-x) = x^2 (-\sin x) = -x^2 \sin x = -f(x)\]

Таким образом, выражение \(f(x) = f(-x)\) не выполняется для всех x. Следовательно, функция \(f(x) = x^2 \sin(x)\) не является четной.

b) Рассмотрим вторую функцию: \(f(x) = x^2 - 9\).
Аналогично, проверим выполняется ли условие \(f(x) = f(-x)\):
\[f(-x) = (-x)^2 - 9 = x^2 - 9 = f(x)\]

Получается, что \(f(x)\) равно \(f(-x)\) для всех x. Следовательно, функция \(f(x) = x^2 - 9\) является четной.

2) Исследование на четность функции:
Для того чтобы исследовать функцию на четность, мы также можем анализировать ее график.
Рассмотрим вторую функцию: \(f(x) = \cos(x^3)\).

a) Построим график функции \(f(x) = \cos(x^3)\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-2 & -0.48 \\
-1 & 0.54 \\
0 & 1 \\
1 & 0.54 \\
2 & -0.48 \\
\hline
\end{array}
\]

Точки на графике показывают значения функции для различных значений x. Мы видим, что график функции не симметричен относительно оси y. Таким образом, функция \(f(x) = \cos(x^3)\) не является четной.

b) Нет необходимости исследовать функцию \(f(x) = x(25)\) на четность, так как она зависит только от одной переменной (x), и в данном случае нет возможности заменить x на -x для проверки условия \(f(x) = f(-x)\). Здесь мы видим, что функция (\(f(x) = x(25)\)) является линейной, а не четной.

Таким образом, после проверки и исследования функций, мы можем сделать следующие выводы:
1) Функция \(f(x) = x^2 \sin(x)\) не является четной.
2) Функция \(f(x) = x^2 - 9\) является четной.
3) Функция \(f(x) = \cos(x^3)\) не является четной.
4) Функция \(f(x) = x(25)\) не является четной.

Надеюсь, что эта информация была полезной и понятной для вас. Если у вас возникнут другие вопросы, не стесняйтесь задавать.