Довжина відрізка буде залежати від методу знаходження нових координат вершин квадрату ABCD після паралельного

Щоб знайти довжину відрізка \(a_1b_1\) (або \(c_1d_1\)), після паралельного перенесення квадрата ABCD, ми спочатку повинні зрозуміти, які нові координати мають вершини квадрата.

Оскільки нам дано, що корінь з 2 см є довжиною сторони квадрата ABCD, можемо припустити, що квадрат ABCD має сторону довжиною \(2\sqrt{2}\) см. Оскільки сторона квадрата паралельна до \(x\)-осі і \(y\)-осі, тоді вершини квадрата можна виразити як пари координат.

Нехай вершина \(A\) має координати \((x_1, y_1)\). Оскільки квадрат ABCD паралельно переноситься, нові координати вершин будуть мати зсув на однакові величини з початковими координатами.

Таким чином, нові координати вершин будуть мати вигляд:

Вершина \(A_1\) - \((x_1 + a, y_1 + b)\)
Вершина \(B_1\) - \((x_1 + a, y_1 + b + 2\sqrt{2})\)
Вершина \(C_1\) - \((x_1 + a + 2\sqrt{2}, y_1 + b + 2\sqrt{2})\)
Вершина \(D_1\) - \((x_1 + a + 2\sqrt{2}, y_1 + b)\)

Тут \(a\) і \(b\) - величини зсуву по \(x\)- і \(y\)-осьових напрямках відповідно.

Тепер, застосуємо формулу відстані між двома точками в декартовій системі координат:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Застосуємо формулу для відрізка \(a_1b_1\):

\[a_1b_1 = \sqrt{((x_1 + a) - (x_1 + a))^2 + ((y_1 + b + 2\sqrt{2}) - (y_1 + b))^2}\]

Спрощуючи вираз:

\[a_1b_1 = \sqrt{0 + (2\sqrt{2})^2}\]

\[a_1b_1 = \sqrt{8}\]

\[a_1b_1 = 2\sqrt{2}\]

Отже, відрізок \(a_1b_1\) (або \(c_1d_1\)) матиме довжину \(2\sqrt{2}\) см після паралельного перенесення квадрата ABCD.