Дослідіть: а) координати, довжину, напрямні косинуси та орт вектора М1М2; б) координати точки М згідно до відношення

Дана задача включает исследование свойств вектора $\overrightarrow{{М}_1{М}_2}$ и нахождение координат точки $М$ согласно отношению $\frac{{М}_1М}{М{М}_2}=\frac{m}{n}$, а также нахождение координат точки ${М}_3$ согласно отношению $\frac{{М}_1{М}_3}{\lambda {М}_1{М}_2}$.

а) Для начала, найдем координаты вектора $\overrightarrow{{М}_1{М}_2}$.
Известно, что координаты вектора можно найти, вычитая из координат конечной точки ${М}_2$ координаты начальной точки ${М}_1$.

Пусть координаты точки ${М}_1$ равны $(x_1,y_1)$, а координаты точки ${М}_2$ равны $(x_2,y_2)$.
Тогда координаты вектора можно выразить следующим образом:

$$\overrightarrow{{М}_1{М}_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

Чтобы найти длину вектора $\overrightarrow{{М}_1{М}_2}$, воспользуемся формулой для длины вектора:

$$||\overrightarrow{{М}_1{М}_2}||=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Напрямленные косинусы вектора $\overrightarrow{{М}_1{М}_2}$ определяются как отношения его проекций на оси координат и его длины:

$$\cos \alpha =\frac{\mathrm{\Delta }x}{||\overrightarrow{{М}_1{М}_2}||},\cos \beta =\frac{\mathrm{\Delta }y}{||\overrightarrow{{М}_1{М}_2}||}$$

где $\alpha$ и $\beta$ - углы, которые вектор $\overrightarrow{{М}_1{М}_2}$ образует с положительными направлениями осей $X$ и $Y$ соответственно.

Наконец, орт вектора $\overrightarrow{{М}_1{М}_2}$ может быть рассчитан следующим образом:

$$\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{{М}_1{М}_2}}{||\overrightarrow{{М}_1{М}_2}||}=(\frac{x_2-x_1}{||\overrightarrow{{М}_1{М}_2}||},\frac{y_2-y_1}{||\overrightarrow{{М}_1{М}_2}||})$$

б) Теперь перейдем к нахождению координат точки $М$ согласно отношению $\frac{{М}_1М}{М{М}_2}=\frac{m}{n}$. Предположим, что координаты точки $М$ равны $(x,y)$.

Координаты точки $М$ можно выразить следующим образом:

$$(x,y)=(\frac{m{x}_2+n{x}_1}{m+n},\frac{m{y}_2+n{y}_1}{m+n})$$

в) Наконец, определим координаты точки ${М}_3$ согласно отношению $\frac{{М}_1{М}_3}{\lambda {М}_1{М}_2}$. Предположим, что координаты точки ${М}_3$ равны $(x_3,y_3)$.

Координаты точки ${М}_3$ можно выразить следующим образом:

$$(x_3,y_3)=(\frac{\lambda x_2+(1-\lambda )x_1}{\lambda +(1-\lambda )},\frac{\lambda y_2+(1-\lambda )y_1}{\lambda +(1-\lambda )})$$

Это подробное решение поможет вам полностью исследовать и найти все необходимые значения, связанные с вектором и отношением точек задачи. Если у вас есть конкретные числовые значения для координат ${М}_1$, ${М}_2$, $m$, $n$, $\lambda$, то подставьте их в формулы, чтобы получить точные ответы.