Дослідіть: а) координати, довжину, напрямні косинуси та орт вектора М1М2; б) координати точки М згідно до відношення

Дана задача включает исследование свойств вектора \( \overrightarrow{М_1М_2} \) и нахождение координат точки \( М \) согласно отношению \( \frac{М_1М}{ММ_2} = \frac{m}{n} \), а также нахождение координат точки \( М_3 \) согласно отношению \( \frac{М_1М_3}{λМ_1М_2} \).

а) Для начала, найдем координаты вектора \( \overrightarrow{М_1М_2} \).
Известно, что координаты вектора можно найти, вычитая из координат конечной точки \( М_2 \) координаты начальной точки \( М_1 \).

Пусть координаты точки \( М_1 \) равны \( (x_1, y_1) \), а координаты точки \( М_2 \) равны \( (x_2, y_2) \).
Тогда координаты вектора можно выразить следующим образом:

\[ \overrightarrow{М_1М_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \]

Чтобы найти длину вектора \( \overrightarrow{М_1М_2} \), воспользуемся формулой для длины вектора:

\[ ||\overrightarrow{М_1М_2}|| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Напрямленные косинусы вектора \( \overrightarrow{М_1М_2} \) определяются как отношения его проекций на оси координат и его длины:

\[ \cos \alpha = \frac{{\Delta x}}{{||\overrightarrow{М_1М_2}||}}, \quad \cos \beta = \frac{{\Delta y}}{{||\overrightarrow{М_1М_2}||}} \]

где \( \alpha \) и \( \beta \) - углы, которые вектор \( \overrightarrow{М_1М_2} \) образует с положительными направлениями осей \( X \) и \( Y \) соответственно.

Наконец, орт вектора \( \overrightarrow{М_1М_2} \) может быть рассчитан следующим образом:

\[ \overrightarrow{u} = \frac{{\overrightarrow{М_1М_2}}}{{||\overrightarrow{М_1М_2}||}} = \left( \frac{{x_2 - x_1}}{{||\overrightarrow{М_1М_2}||}}, \frac{{y_2 - y_1}}{{||\overrightarrow{М_1М_2}||}} \right) \]

б) Теперь перейдем к нахождению координат точки \( М \) согласно отношению \( \frac{М_1М}{ММ_2} = \frac{m}{n} \). Предположим, что координаты точки \( М \) равны \( (x, y) \).

Координаты точки \( М \) можно выразить следующим образом:

\[ (x, y) = \left( \frac{{mx_2 + nx_1}}{{m + n}}, \frac{{my_2 + ny_1}}{{m + n}} \right) \]

в) Наконец, определим координаты точки \( М_3 \) согласно отношению \( \frac{М_1М_3}{{λМ_1М_2}} \). Предположим, что координаты точки \( М_3 \) равны \( (x_3, y_3) \).

Координаты точки \( М_3 \) можно выразить следующим образом:

\[ (x_3, y_3) = \left( \frac{{λx_2 + (1 - λ)x_1}}{{λ + (1 - λ)}}, \frac{{λy_2 + (1 - λ)y_1}}{{λ + (1 - λ)}} \right) \]

Это подробное решение поможет вам полностью исследовать и найти все необходимые значения, связанные с вектором и отношением точек задачи. Если у вас есть конкретные числовые значения для координат \( М_1 \), \( М_2 \), \( m \), \( n \), \( λ \), то подставьте их в формулы, чтобы получить точные ответы.